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Theorem ralcom4

Description: Commutation of restricted and unrestricted universal quantifiers. (Contributed by NM, 26-Mar-2004) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011) Reduce axiom dependencies. (Revised by BJ, 13-Jun-2019) (Proof shortened by Wolf Lammen, 31-Oct-2024)

Ref Expression
Assertion ralcom4 
|- ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x e. A ph )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 19.21v 
 |-  ( A. y ( x e. A -> ph ) <-> ( x e. A -> A. y ph ) )
2 1 albii 
 |-  ( A. x A. y ( x e. A -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. y ph ) )
3 alcom 
 |-  ( A. y A. x ( x e. A -> ph ) <-> A. x A. y ( x e. A -> ph ) )
4 df-ral 
 |-  ( A. x e. A A. y ph <-> A. x ( x e. A -> A. y ph ) )
5 2 3 4 3bitr4ri 
 |-  ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x ( x e. A -> ph ) )
6 df-ral 
 |-  ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
7 6 albii 
 |-  ( A. y A. x e. A ph <-> A. y A. x ( x e. A -> ph ) )
8 5 7 bitr4i 
 |-  ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x e. A ph )