| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
oppcmon.o |
|- O = ( oppCat ` C ) |
| 2 |
|
oppcmon.c |
|- ( ph -> C e. Cat ) |
| 3 |
|
oppcepi.e |
|- E = ( Epi ` O ) |
| 4 |
|
oppcepi.m |
|- M = ( Mono ` C ) |
| 5 |
1
|
2oppchomf |
|- ( Homf ` C ) = ( Homf ` ( oppCat ` O ) ) |
| 6 |
5
|
a1i |
|- ( ph -> ( Homf ` C ) = ( Homf ` ( oppCat ` O ) ) ) |
| 7 |
1
|
2oppccomf |
|- ( comf ` C ) = ( comf ` ( oppCat ` O ) ) |
| 8 |
7
|
a1i |
|- ( ph -> ( comf ` C ) = ( comf ` ( oppCat ` O ) ) ) |
| 9 |
1
|
oppccat |
|- ( C e. Cat -> O e. Cat ) |
| 10 |
2 9
|
syl |
|- ( ph -> O e. Cat ) |
| 11 |
|
eqid |
|- ( oppCat ` O ) = ( oppCat ` O ) |
| 12 |
11
|
oppccat |
|- ( O e. Cat -> ( oppCat ` O ) e. Cat ) |
| 13 |
10 12
|
syl |
|- ( ph -> ( oppCat ` O ) e. Cat ) |
| 14 |
6 8 2 13
|
monpropd |
|- ( ph -> ( Mono ` C ) = ( Mono ` ( oppCat ` O ) ) ) |
| 15 |
4 14
|
eqtrid |
|- ( ph -> M = ( Mono ` ( oppCat ` O ) ) ) |
| 16 |
15
|
oveqd |
|- ( ph -> ( Y M X ) = ( Y ( Mono ` ( oppCat ` O ) ) X ) ) |
| 17 |
|
eqid |
|- ( Mono ` ( oppCat ` O ) ) = ( Mono ` ( oppCat ` O ) ) |
| 18 |
11 10 17 3
|
oppcmon |
|- ( ph -> ( Y ( Mono ` ( oppCat ` O ) ) X ) = ( X E Y ) ) |
| 19 |
16 18
|
eqtr2d |
|- ( ph -> ( X E Y ) = ( Y M X ) ) |