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Theorem opltcon1b

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. ( chpsscon1 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses opltcon3.b 
|- B = ( Base ` K )
opltcon3.s 
|- .< = ( lt ` K )
opltcon3.o 
|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion opltcon1b 
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .< Y <-> ( ._|_ ` Y ) .< X ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 opltcon3.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 opltcon3.s 
 |-  .< = ( lt ` K )
3 opltcon3.o 
 |-  ._|_ = ( oc ` K )
4 1 3 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
5 4 3adant3 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
6 1 2 3 opltcon3b 
 |-  ( ( K e. OP /\ ( ._|_ ` X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .< Y <-> ( ._|_ ` Y ) .< ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )
7 5 6 syld3an2 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .< Y <-> ( ._|_ ` Y ) .< ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )
8 1 3 opococ 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
9 8 3adant3 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
10 9 breq2d 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .< ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) <-> ( ._|_ ` Y ) .< X ) )
11 7 10 bitrd 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .< Y <-> ( ._|_ ` Y ) .< X ) )