| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
opcon3.b |
|- B = ( Base ` K ) |
| 2 |
|
opcon3.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
| 3 |
|
opcon3.o |
|- ._|_ = ( oc ` K ) |
| 4 |
1 2 3
|
oplecon3 |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) ) ) |
| 5 |
|
simp1 |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. OP ) |
| 6 |
1 3
|
opoccl |
|- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B ) |
| 7 |
6
|
3adant2 |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B ) |
| 8 |
1 3
|
opoccl |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B ) |
| 9 |
8
|
3adant3 |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B ) |
| 10 |
1 2 3
|
oplecon3 |
|- ( ( K e. OP /\ ( ._|_ ` Y ) e. B /\ ( ._|_ ` X ) e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) ) |
| 11 |
5 7 9 10
|
syl3anc |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) ) |
| 12 |
1 3
|
opococ |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X ) |
| 13 |
12
|
3adant3 |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X ) |
| 14 |
1 3
|
opococ |
|- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y ) |
| 15 |
14
|
3adant2 |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y ) |
| 16 |
13 15
|
breq12d |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) <-> X .<_ Y ) ) |
| 17 |
11 16
|
sylibd |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) -> X .<_ Y ) ) |
| 18 |
4 17
|
impbid |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) ) ) |