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Theorem grpinvsub

Description: Inverse of a group subtraction. (Contributed by NM, 9-Sep-2014)

Ref Expression
Hypotheses grpsubcl.b 
|- B = ( Base ` G )
grpsubcl.m 
|- .- = ( -g ` G )
grpinvsub.n 
|- N = ( invg ` G )
Assertion grpinvsub 
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .- Y ) ) = ( Y .- X ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 grpsubcl.b 
 |-  B = ( Base ` G )
2 grpsubcl.m 
 |-  .- = ( -g ` G )
3 grpinvsub.n 
 |-  N = ( invg ` G )
4 1 3 grpinvcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
5 4 3adant2 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
6 eqid 
 |-  ( +g ` G ) = ( +g ` G )
7 1 6 3 grpinvadd 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( N ` Y ) e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
8 5 7 syld3an3 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
9 1 3 grpinvinv 
 |-  ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
10 9 3adant2 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
11 10 oveq1d 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
12 8 11 eqtrd 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
13 1 6 3 2 grpsubval 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) )
14 13 3adant1 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) )
15 14 fveq2d 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .- Y ) ) = ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) )
16 1 6 3 2 grpsubval 
 |-  ( ( Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
17 16 ancoms 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
18 17 3adant1 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
19 12 15 18 3eqtr4d 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .- Y ) ) = ( Y .- X ) )