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Theorem distrlem1pr

Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 1-May-1996) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion distrlem1pr 
|- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. ( B +P. C ) ) C_ ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 addclpr 
 |-  ( ( B e. P. /\ C e. P. ) -> ( B +P. C ) e. P. )
2 df-mp 
 |-  .P. = ( y e. P. , z e. P. |-> { f | E. g e. y E. h e. z f = ( g .Q h ) } )
3 mulclnq 
 |-  ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g .Q h ) e. Q. )
4 2 3 genpelv 
 |-  ( ( A e. P. /\ ( B +P. C ) e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
5 1 4 sylan2 
 |-  ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ C e. P. ) ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
6 5 3impb 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) <-> E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) ) )
7 df-plp 
 |-  +P. = ( w e. P. , x e. P. |-> { f | E. g e. w E. h e. x f = ( g +Q h ) } )
8 addclnq 
 |-  ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g +Q h ) e. Q. )
9 7 8 genpelv 
 |-  ( ( B e. P. /\ C e. P. ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
10 9 3adant1 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
11 10 adantr 
 |-  ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( v e. ( B +P. C ) <-> E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) ) )
12 simprr 
 |-  ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> w = ( x .Q v ) )
13 simpr 
 |-  ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> v = ( y +Q z ) )
14 oveq2 
 |-  ( v = ( y +Q z ) -> ( x .Q v ) = ( x .Q ( y +Q z ) ) )
15 14 eqeq2d 
 |-  ( v = ( y +Q z ) -> ( w = ( x .Q v ) <-> w = ( x .Q ( y +Q z ) ) ) )
16 15 biimpac 
 |-  ( ( w = ( x .Q v ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> w = ( x .Q ( y +Q z ) ) )
17 distrnq 
 |-  ( x .Q ( y +Q z ) ) = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) )
18 16 17 eqtrdi 
 |-  ( ( w = ( x .Q v ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> w = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) )
19 12 13 18 syl2an 
 |-  ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> w = ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) )
20 mulclpr 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A .P. B ) e. P. )
21 20 3adant3 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. B ) e. P. )
22 21 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( A .P. B ) e. P. )
23 mulclpr 
 |-  ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. C ) e. P. )
24 23 3adant2 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. C ) e. P. )
25 24 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( A .P. C ) e. P. )
26 simpll 
 |-  ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> y e. B )
27 2 3 genpprecl 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) ) )
28 27 3adant3 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) ) )
29 28 impl 
 |-  ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
30 29 adantlrr 
 |-  ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ y e. B ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
31 26 30 sylan2 
 |-  ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) )
32 simplr 
 |-  ( ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) -> z e. C )
33 2 3 genpprecl 
 |-  ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) )
34 33 3adant2 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) )
35 34 impl 
 |-  ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ x e. A ) /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
36 35 adantlrr 
 |-  ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ z e. C ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
37 32 36 sylan2 
 |-  ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) )
38 7 8 genpprecl 
 |-  ( ( ( A .P. B ) e. P. /\ ( A .P. C ) e. P. ) -> ( ( ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) /\ ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
39 38 imp 
 |-  ( ( ( ( A .P. B ) e. P. /\ ( A .P. C ) e. P. ) /\ ( ( x .Q y ) e. ( A .P. B ) /\ ( x .Q z ) e. ( A .P. C ) ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
40 22 25 31 37 39 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> ( ( x .Q y ) +Q ( x .Q z ) ) e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
41 19 40 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) /\ ( ( y e. B /\ z e. C ) /\ v = ( y +Q z ) ) ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )
42 41 exp32 
 |-  ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ( v = ( y +Q z ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) )
43 42 rexlimdvv 
 |-  ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( E. y e. B E. z e. C v = ( y +Q z ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
44 11 43 sylbid 
 |-  ( ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) /\ ( x e. A /\ w = ( x .Q v ) ) ) -> ( v e. ( B +P. C ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
45 44 exp32 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( x e. A -> ( w = ( x .Q v ) -> ( v e. ( B +P. C ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) ) )
46 45 com34 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( x e. A -> ( v e. ( B +P. C ) -> ( w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) ) )
47 46 impd 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( x e. A /\ v e. ( B +P. C ) ) -> ( w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) ) )
48 47 rexlimdvv 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( E. x e. A E. v e. ( B +P. C ) w = ( x .Q v ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
49 6 48 sylbid 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( w e. ( A .P. ( B +P. C ) ) -> w e. ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) ) )
50 49 ssrdv 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P. ) -> ( A .P. ( B +P. C ) ) C_ ( ( A .P. B ) +P. ( A .P. C ) ) )