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Theorem cjneg

Description: Complex conjugate of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014)

Ref Expression
Assertion cjneg 
|- ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = -u ( * ` A ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 recl 
 |-  ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2 1 recnd 
 |-  ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3 ax-icn 
 |-  _i e. CC
4 imcl 
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5 4 recnd 
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6 mulcl 
 |-  ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
7 3 5 6 sylancr 
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
8 2 7 neg2subd 
 |-  ( A e. CC -> ( -u ( Re ` A ) - -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) - ( Re ` A ) ) )
9 reneg 
 |-  ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) = -u ( Re ` A ) )
10 imneg 
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` -u A ) = -u ( Im ` A ) )
11 10 oveq2d 
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` -u A ) ) = ( _i x. -u ( Im ` A ) ) )
12 mulneg2 
 |-  ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
13 3 5 12 sylancr 
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
14 11 13 eqtrd 
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` -u A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
15 9 14 oveq12d 
 |-  ( A e. CC -> ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) = ( -u ( Re ` A ) - -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16 2 7 negsubdi2d 
 |-  ( A e. CC -> -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) - ( Re ` A ) ) )
17 8 15 16 3eqtr4d 
 |-  ( A e. CC -> ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) = -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
18 negcl 
 |-  ( A e. CC -> -u A e. CC )
19 remim 
 |-  ( -u A e. CC -> ( * ` -u A ) = ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) )
20 18 19 syl 
 |-  ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) )
21 remim 
 |-  ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
22 21 negeqd 
 |-  ( A e. CC -> -u ( * ` A ) = -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
23 17 20 22 3eqtr4d 
 |-  ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = -u ( * ` A ) )