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Theorem imneg

Description: The imaginary part of a negative number. (Contributed by NM, 18-Mar-2005) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014)

Ref Expression
Assertion imneg 
|- ( A e. CC -> ( Im ` -u A ) = -u ( Im ` A ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 recl 
 |-  ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2 1 recnd 
 |-  ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3 ax-icn 
 |-  _i e. CC
4 imcl 
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5 4 recnd 
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6 mulcl 
 |-  ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
7 3 5 6 sylancr 
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
8 2 7 negdid 
 |-  ( A e. CC -> -u ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( -u ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
9 replim 
 |-  ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
10 9 negeqd 
 |-  ( A e. CC -> -u A = -u ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
11 mulneg2 
 |-  ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
12 3 5 11 sylancr 
 |-  ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
13 12 oveq2d 
 |-  ( A e. CC -> ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( -u ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
14 8 10 13 3eqtr4d 
 |-  ( A e. CC -> -u A = ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) )
15 14 fveq2d 
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` -u A ) = ( Im ` ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) )
16 1 renegcld 
 |-  ( A e. CC -> -u ( Re ` A ) e. RR )
17 4 renegcld 
 |-  ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
18 crim 
 |-  ( ( -u ( Re ` A ) e. RR /\ -u ( Im ` A ) e. RR ) -> ( Im ` ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
19 16 17 18 syl2anc 
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
20 15 19 eqtrd 
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` -u A ) = -u ( Im ` A ) )