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Theorem zfcndac

Description: Axiom of Choice ax-ac , reproved from conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 15-Aug-2003) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Ref Expression
Assertion zfcndac ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 axacnd ⊢ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ∀ 𝑦 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) )
2 19.3v ⊢ ( ∀ 𝑦 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) )
3 2 imbi1i ⊢ ( ( ∀ 𝑦 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
4 3 2albii ⊢ ( ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ∀ 𝑦 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
5 4 exbii ⊢ ( ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ∀ 𝑦 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
6 1 5 mpbi ⊢ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) )
7 equequ2 ⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( 𝑢 = 𝑣 ↔ 𝑢 = 𝑥 ) )
8 7 bibi2d ⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ) )
9 elequ2 ⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 𝑤 ∈ 𝑡 ↔ 𝑤 ∈ 𝑥 ) )
10 9 anbi2d ⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ↔ ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ) )
11 elequ2 ⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 𝑢 ∈ 𝑡 ↔ 𝑢 ∈ 𝑥 ) )
12 elequ1 ⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 𝑡 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦 ) )
13 11 12 anbi12d ⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ↔ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) )
14 10 13 anbi12d ⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ) )
15 14 cbvexvw ⊢ ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) )
16 15 bibi1i ⊢ ( ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) )
17 8 16 bitrdi ⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ) )
18 17 albidv ⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ) )
19 elequ1 ⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( 𝑢 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤 ) )
20 19 anbi1d ⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ) )
21 elequ1 ⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( 𝑢 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥 ) )
22 21 anbi1d ⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) )
23 20 22 anbi12d ⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ) )
24 23 exbidv ⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ) )
25 equequ1 ⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( 𝑢 = 𝑥 ↔ 𝑧 = 𝑥 ) )
26 24 25 bibi12d ⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
27 26 cbvalvw ⊢ ( ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) )
28 18 27 bitrdi ⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
29 28 cbvexvw ⊢ ( ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) )
30 29 imbi2i ⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ) ↔ ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
31 30 2albii ⊢ ( ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
32 31 exbii ⊢ ( ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
33 6 32 mpbir ⊢ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) )