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Theorem zfcndac

Description: Axiom of Choice ax-ac , reproved from conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 15-Aug-2003) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Ref Expression
Assertion zfcndac 
|- E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 axacnd 
 |-  E. y A. z A. w ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
2 19.3v 
 |-  ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) <-> ( z e. w /\ w e. x ) )
3 2 imbi1i 
 |-  ( ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
4 3 2albii 
 |-  ( A. z A. w ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
5 4 exbii 
 |-  ( E. y A. z A. w ( A. y ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
6 1 5 mpbi 
 |-  E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
7 equequ2 
 |-  ( v = x -> ( u = v <-> u = x ) )
8 7 bibi2d 
 |-  ( v = x -> ( ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = x ) ) )
9 elequ2 
 |-  ( t = x -> ( w e. t <-> w e. x ) )
10 9 anbi2d 
 |-  ( t = x -> ( ( u e. w /\ w e. t ) <-> ( u e. w /\ w e. x ) ) )
11 elequ2 
 |-  ( t = x -> ( u e. t <-> u e. x ) )
12 elequ1 
 |-  ( t = x -> ( t e. y <-> x e. y ) )
13 11 12 anbi12d 
 |-  ( t = x -> ( ( u e. t /\ t e. y ) <-> ( u e. x /\ x e. y ) ) )
14 10 13 anbi12d 
 |-  ( t = x -> ( ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) ) )
15 14 cbvexvw 
 |-  ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) )
16 15 bibi1i 
 |-  ( ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = x ) <-> ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) )
17 8 16 bitrdi 
 |-  ( v = x -> ( ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) ) )
18 17 albidv 
 |-  ( v = x -> ( A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> A. u ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) ) )
19 elequ1 
 |-  ( u = z -> ( u e. w <-> z e. w ) )
20 19 anbi1d 
 |-  ( u = z -> ( ( u e. w /\ w e. x ) <-> ( z e. w /\ w e. x ) ) )
21 elequ1 
 |-  ( u = z -> ( u e. x <-> z e. x ) )
22 21 anbi1d 
 |-  ( u = z -> ( ( u e. x /\ x e. y ) <-> ( z e. x /\ x e. y ) ) )
23 20 22 anbi12d 
 |-  ( u = z -> ( ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) ) )
24 23 exbidv 
 |-  ( u = z -> ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) ) )
25 equequ1 
 |-  ( u = z -> ( u = x <-> z = x ) )
26 24 25 bibi12d 
 |-  ( u = z -> ( ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) <-> ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
27 26 cbvalvw 
 |-  ( A. u ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) <-> A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
28 18 27 bitrdi 
 |-  ( v = x -> ( A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
29 28 cbvexvw 
 |-  ( E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
30 29 imbi2i 
 |-  ( ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) <-> ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
31 30 2albii 
 |-  ( A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) <-> A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
32 31 exbii 
 |-  ( E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
33 6 32 mpbir 
 |-  E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) )