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Theorem s7f1o

Description: A length 7 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by AV, 2-Aug-2025)

Ref Expression
Assertion s7f1o ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺 ) ) ) ∧ ( ( 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺 ) ∧ ( 𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐾 = ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ → 𝐾 : ( 0 ..^ 7 ) –1-1-onto→ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 s7cli ⊢ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ ∈ Word V
2 wrdf ⊢ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ ∈ Word V → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ ) ) ⟶ V )
3 s7len ⊢ ( ♯ ‘ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ ) = 7
4 3 oveq2i ⊢ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ ) ) = ( 0 ..^ 7 )
5 4 feq2i ⊢ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ ) ) ⟶ V ↔ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ 7 ) ⟶ V )
6 ffn ⊢ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ 7 ) ⟶ V → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ Fn ( 0 ..^ 7 ) )
7 5 6 sylbi ⊢ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ ) ) ⟶ V → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ Fn ( 0 ..^ 7 ) )
8 1 2 7 mp2b ⊢ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ Fn ( 0 ..^ 7 )
9 8 a1i ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ Fn ( 0 ..^ 7 ) )
10 dffn4 ⊢ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ Fn ( 0 ..^ 7 ) ↔ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ 7 ) –onto→ ran ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ )
11 9 10 sylib ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ 7 ) –onto→ ran ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ )
12 simp1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) → 𝐴 ∈ 𝑉 )
13 12 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑉 )
14 simp2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) → 𝐵 ∈ 𝑉 )
15 14 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑉 )
16 simp3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) → 𝐶 ∈ 𝑉 )
17 16 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑉 )
18 simp2 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑉 )
19 simp1 ⊢ ( ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) → 𝐸 ∈ 𝑉 )
20 19 3ad2ant3 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) → 𝐸 ∈ 𝑉 )
21 simp2 ⊢ ( ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) → 𝐹 ∈ 𝑉 )
22 21 3ad2ant3 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑉 )
23 simp3 ⊢ ( ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) → 𝐺 ∈ 𝑉 )
24 23 3ad2ant3 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) → 𝐺 ∈ 𝑉 )
25 13 15 17 18 20 22 24 s7rn ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) → ran ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ = ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) )
26 foeq3 ⊢ ( ran ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ = ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) → ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ 7 ) –onto→ ran ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ ↔ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ 7 ) –onto→ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ) )
27 25 26 syl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) → ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ 7 ) –onto→ ran ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ ↔ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ 7 ) –onto→ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ) )
28 11 27 mpbid ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ 7 ) –onto→ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) )
29 28 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺 ) ) ) ∧ ( ( 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺 ) ∧ ( 𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ) ) ) ) → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ 7 ) –onto→ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) )
30 7nn0 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31 hashfzo0 ⊢ ( 7 ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 7 ) ) = 7 )
32 30 31 ax-mp ⊢ ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 7 ) ) = 7
33 hash7g ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺 ) ) ) ∧ ( ( 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺 ) ∧ ( 𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ) = 7 )
34 32 33 eqtr4id ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺 ) ) ) ∧ ( ( 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺 ) ∧ ( 𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 7 ) ) = ( ♯ ‘ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ) )
35 fzofi ⊢ ( 0 ..^ 7 ) ∈ Fin
36 tpfi ⊢ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∈ Fin
37 snfi ⊢ { 𝐷 } ∈ Fin
38 unfi ⊢ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∈ Fin ∧ { 𝐷 } ∈ Fin ) → ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∈ Fin )
39 36 37 38 mp2an ⊢ ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∈ Fin
40 tpfi ⊢ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ∈ Fin
41 unfi ⊢ ( ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∈ Fin ∧ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ∈ Fin ) → ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ∈ Fin )
42 39 40 41 mp2an ⊢ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ∈ Fin
43 hashen ⊢ ( ( ( 0 ..^ 7 ) ∈ Fin ∧ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ∈ Fin ) → ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 7 ) ) = ( ♯ ‘ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ) ↔ ( 0 ..^ 7 ) ≈ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ) )
44 35 42 43 mp2an ⊢ ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 7 ) ) = ( ♯ ‘ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ) ↔ ( 0 ..^ 7 ) ≈ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) )
45 34 44 sylib ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺 ) ) ) ∧ ( ( 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺 ) ∧ ( 𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ) ) ) ) → ( 0 ..^ 7 ) ≈ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) )
46 42 a1i ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺 ) ) ) ∧ ( ( 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺 ) ∧ ( 𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ) ) ) ) → ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ∈ Fin )
47 fofinf1o ⊢ ( ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ 7 ) –onto→ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ∧ ( 0 ..^ 7 ) ≈ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ∧ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ∈ Fin ) → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ 7 ) –1-1-onto→ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) )
48 29 45 46 47 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺 ) ) ) ∧ ( ( 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺 ) ∧ ( 𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ) ) ) ) → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ 7 ) –1-1-onto→ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) )
49 f1oeq1 ⊢ ( 𝐾 = ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ → ( 𝐾 : ( 0 ..^ 7 ) –1-1-onto→ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ↔ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ : ( 0 ..^ 7 ) –1-1-onto→ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ) )
50 48 49 syl5ibrcom ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐷 ∧ ( 𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺 ) ) ) ∧ ( ( 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺 ) ∧ ( 𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐾 = ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 ”⟩ → 𝐾 : ( 0 ..^ 7 ) –1-1-onto→ ( ( { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∪ { 𝐷 } ) ∪ { 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 } ) ) )