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Theorem poinxp

Description: Intersection of partial order with Cartesian product of its field. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2014)

Ref Expression
Assertion poinxp ( 𝑅 Po 𝐴 ↔ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) Po 𝐴 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 brinxp ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑥 ↔ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) )
2 1 anidms ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( 𝑥 𝑅 𝑥 ↔ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) )
3 2 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑥 ↔ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) )
4 3 notbid ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) )
5 brinxp ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ) )
6 5 adantr ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ) )
7 brinxp ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 𝑅 𝑧 ↔ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) )
8 7 adantll ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 𝑅 𝑧 ↔ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) )
9 6 8 anbi12d ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) ↔ ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ∧ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) ) )
10 brinxp ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑧 ↔ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) )
11 10 adantlr ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑧 ↔ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) )
12 9 11 imbi12d ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ↔ ( ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ∧ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) → 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) ) )
13 4 12 anbi12d ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ( ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ∧ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) → 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) ) ) )
14 13 ralbidva ⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ∧ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) → 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) ) ) )
15 14 ralbidva ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ∧ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) → 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) ) ) )
16 15 ralbiia ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ∧ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) → 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) ) )
17 df-po ⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) )
18 df-po ⊢ ( ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) Po 𝐴 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ∧ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) → 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑧 ) ) )
19 16 17 18 3bitr4i ⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 ↔ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) Po 𝐴 )