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Theorem muldvds2

Description: If a product divides an integer, so does one of its factors. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011)

Ref Expression
Assertion muldvds2 ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 zmulcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 · 𝑀 ) ∈ ℤ )
2 1 anim1i ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) )
3 2 3impa ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) )
4 3simpc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) )
5 zmulcl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · 𝐾 ) ∈ ℤ )
6 5 ancoms ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · 𝐾 ) ∈ ℤ )
7 6 3ad2antl1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · 𝐾 ) ∈ ℤ )
8 zcn ⊢ ( 𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ )
9 zcn ⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ )
10 zcn ⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ )
11 mulass ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑥 · 𝐾 ) · 𝑀 ) = ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) )
12 8 9 10 11 syl3an ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · 𝐾 ) · 𝑀 ) = ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) )
13 12 3coml ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · 𝐾 ) · 𝑀 ) = ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) )
14 13 3expa ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · 𝐾 ) · 𝑀 ) = ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) )
15 14 3adantl3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · 𝐾 ) · 𝑀 ) = ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) )
16 15 eqeq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑥 · 𝐾 ) · 𝑀 ) = 𝑁 ↔ ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) = 𝑁 ) )
17 16 biimprd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) = 𝑁 → ( ( 𝑥 · 𝐾 ) · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
18 3 4 7 17 dvds1lem ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁 ) )