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Theorem lmodvscl

Description: Closure of scalar product for a left module. ( hvmulcl analog.) (Contributed by NM, 8-Dec-2013) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014)

Ref Expression
Hypotheses lmodvscl.v ⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
lmodvscl.f ⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
lmodvscl.s ⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
lmodvscl.k ⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
Assertion lmodvscl ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lmodvscl.v ⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
2 lmodvscl.f ⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
3 lmodvscl.s ⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
4 lmodvscl.k ⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
5 biid ⊢ ( 𝑊 ∈ LMod ↔ 𝑊 ∈ LMod )
6 pm4.24 ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ↔ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) )
7 pm4.24 ⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) )
8 eqid ⊢ ( +g ‘ 𝑊 ) = ( +g ‘ 𝑊 )
9 eqid ⊢ ( +g ‘ 𝐹 ) = ( +g ‘ 𝐹 )
10 eqid ⊢ ( .r ‘ 𝐹 ) = ( .r ‘ 𝐹 )
11 eqid ⊢ ( 1r ‘ 𝐹 ) = ( 1r ‘ 𝐹 )
12 1 8 3 2 4 9 10 11 lmodlema ⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 ( +g ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑅 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 1r ‘ 𝐹 ) · 𝑋 ) = 𝑋 ) ) )
13 12 simpld ⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 ( +g ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) )
14 13 simp1d ⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 )
15 5 6 7 14 syl3anb ⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 )