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Theorem latj4rot

Description: Rotate lattice join of 4 classes. (Contributed by NM, 11-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses latjass.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
latjass.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
Assertion latj4rot ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑍 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 latjass.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 latjass.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 simp1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
4 simp3l ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
5 simp3r ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
6 1 2 latjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 ∨ 𝑊 ) = ( 𝑊 ∨ 𝑍 ) )
7 3 4 5 6 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 ∨ 𝑊 ) = ( 𝑊 ∨ 𝑍 ) )
8 7 oveq2d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑍 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑊 ∨ 𝑍 ) ) )
9 5 4 jca ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) )
10 1 2 latj4 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑊 ∨ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑊 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )
11 9 10 syld3an3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑊 ∨ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑊 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )
12 simp2l ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
13 1 2 latjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∨ 𝑊 ) = ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) )
14 3 12 5 13 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∨ 𝑊 ) = ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) )
15 14 oveq1d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑊 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )
16 8 11 15 3eqtrd ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑍 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )