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Theorem itgaddlem2

Description: Lemma for itgadd . (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014)

Ref Expression
Hypotheses itgadd.1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝑉 )
itgadd.2 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 )
itgadd.3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ 𝑉 )
itgadd.4 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ 𝐿1 )
itgadd.5 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
itgadd.6 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
Assertion itgaddlem2 ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( 𝐵 + 𝐶 ) d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 + ∫ 𝐴 𝐶 d 𝑥 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 itgadd.1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝑉 )
2 itgadd.2 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 )
3 itgadd.3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ 𝑉 )
4 itgadd.4 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ 𝐿1 )
5 itgadd.5 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
6 itgadd.6 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
7 max0sub ⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) = 𝐵 )
8 5 7 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) = 𝐵 )
9 max0sub ⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) = 𝐶 )
10 6 9 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) = 𝐶 )
11 8 10 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) + ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ) = ( 𝐵 + 𝐶 ) )
12 0re ⊢ 0 ∈ ℝ
13 ifcl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ∈ ℝ )
14 5 12 13 sylancl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ∈ ℝ )
15 14 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ∈ ℂ )
16 ifcl ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ∈ ℝ )
17 6 12 16 sylancl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ∈ ℝ )
18 17 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ∈ ℂ )
19 5 renegcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → - 𝐵 ∈ ℝ )
20 ifcl ⊢ ( ( - 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ∈ ℝ )
21 19 12 20 sylancl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ∈ ℝ )
22 21 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ∈ ℂ )
23 6 renegcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → - 𝐶 ∈ ℝ )
24 ifcl ⊢ ( ( - 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ∈ ℝ )
25 23 12 24 sylancl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ∈ ℝ )
26 25 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ∈ ℂ )
27 15 18 22 26 addsub4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ) = ( ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) + ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ) )
28 5 6 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ )
29 max0sub ⊢ ( ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ → ( if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) − if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ) = ( 𝐵 + 𝐶 ) )
30 28 29 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) − if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ) = ( 𝐵 + 𝐶 ) )
31 11 27 30 3eqtr4rd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) − if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ) = ( ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ) )
32 28 renegcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → - ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ )
33 ifcl ⊢ ( ( - ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ∈ ℝ )
34 32 12 33 sylancl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ∈ ℝ )
35 34 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ∈ ℂ )
36 15 18 addcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) ∈ ℂ )
37 ifcl ⊢ ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ∈ ℝ )
38 28 12 37 sylancl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ∈ ℝ )
39 38 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ∈ ℂ )
40 22 26 addcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ∈ ℂ )
41 35 36 39 40 addsubeq4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ( if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) + ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) ) = ( if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) + ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ) ↔ ( if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) − if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ) = ( ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ) ) )
42 31 41 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) + ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) ) = ( if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) + ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ) )
43 42 itgeq2dv ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) + ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) ) d 𝑥 = ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) + ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ) d 𝑥 )
44 1 2 3 4 ibladd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 + 𝐶 ) ) ∈ 𝐿1 )
45 28 iblre ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 + 𝐶 ) ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ) ) )
46 44 45 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ) )
47 46 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ) ∈ 𝐿1 )
48 14 17 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) ∈ ℝ )
49 5 iblre ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ) ) )
50 2 49 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ) )
51 50 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 )
52 6 iblre ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ) ) )
53 4 52 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ) )
54 53 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 )
55 14 51 17 54 ibladd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
56 max1 ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ - ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) )
57 12 32 56 sylancr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) )
58 max1 ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) )
59 12 5 58 sylancr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) )
60 max1 ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) )
61 12 6 60 sylancr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) )
62 14 17 59 61 addge0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) )
63 34 47 48 55 34 48 57 62 itgaddlem1 ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) + ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) ) d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 + ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 ) )
64 46 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) ) ∈ 𝐿1 )
65 21 25 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ∈ ℝ )
66 50 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 )
67 53 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 )
68 21 66 25 67 ibladd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
69 max1 ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) )
70 12 28 69 sylancr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) )
71 max1 ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ - 𝐵 ∈ ℝ ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) )
72 12 19 71 sylancr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) )
73 max1 ⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ - 𝐶 ∈ ℝ ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) )
74 12 23 73 sylancr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) )
75 21 25 72 74 addge0d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) )
76 38 64 65 68 38 65 70 75 itgaddlem1 ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) + ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) ) d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 + ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 ) )
77 43 63 76 3eqtr3d ⊢ ( 𝜑 → ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 + ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 ) = ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 + ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 ) )
78 34 47 itgcl ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 ∈ ℂ )
79 14 51 17 54 14 17 59 61 itgaddlem1 ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 + ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) d 𝑥 ) )
80 14 51 itgcl ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ∈ ℂ )
81 17 54 itgcl ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) d 𝑥 ∈ ℂ )
82 80 81 addcld ⊢ ( 𝜑 → ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 + ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) d 𝑥 ) ∈ ℂ )
83 79 82 eqeltrd ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
84 38 64 itgcl ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 ∈ ℂ )
85 21 66 25 67 21 25 72 74 itgaddlem1 ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 + ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) d 𝑥 ) )
86 21 66 itgcl ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ∈ ℂ )
87 25 67 itgcl ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) d 𝑥 ∈ ℂ )
88 86 87 addcld ⊢ ( 𝜑 → ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 + ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) d 𝑥 ) ∈ ℂ )
89 85 88 eqeltrd ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
90 78 83 84 89 addsubeq4d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 + ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 ) = ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 + ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 ) ↔ ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 ) = ( ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 ) ) )
91 77 90 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 ) = ( ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 ) )
92 79 85 oveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) + if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) d 𝑥 ) = ( ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 + ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) d 𝑥 ) − ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 + ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) d 𝑥 ) ) )
93 80 81 86 87 addsub4d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 + ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) d 𝑥 ) − ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 + ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) d 𝑥 ) ) = ( ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) + ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) d 𝑥 ) ) )
94 91 92 93 3eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 ) = ( ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) + ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) d 𝑥 ) ) )
95 28 44 itgreval ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( 𝐵 + 𝐶 ) d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) , ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - ( 𝐵 + 𝐶 ) , - ( 𝐵 + 𝐶 ) , 0 ) d 𝑥 ) )
96 5 2 itgreval ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) )
97 6 4 itgreval ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 𝐶 d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) d 𝑥 ) )
98 96 97 oveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 + ∫ 𝐴 𝐶 d 𝑥 ) = ( ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) + ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) d 𝑥 ) ) )
99 94 95 98 3eqtr4d ⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( 𝐵 + 𝐶 ) d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 + ∫ 𝐴 𝐶 d 𝑥 ) )