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Theorem iccdil

Description: Membership in a dilated interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009)

Ref Expression
Hypotheses iccdil.1 ⊢ ( 𝐴 · 𝑅 ) = 𝐶
iccdil.2 ⊢ ( 𝐵 · 𝑅 ) = 𝐷
Assertion iccdil ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iccdil.1 ⊢ ( 𝐴 · 𝑅 ) = 𝐶
2 iccdil.2 ⊢ ( 𝐵 · 𝑅 ) = 𝐷
3 simpl ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
4 rpre ⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ )
5 remulcl ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ℝ )
6 4 5 sylan2 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ℝ )
7 3 6 2thd ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑋 ∈ ℝ ↔ ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ℝ ) )
8 7 adantl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ∈ ℝ ↔ ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ℝ ) )
9 elrp ⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ↔ ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅 ) )
10 lemul1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅 ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝑋 ↔ ( 𝐴 · 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 · 𝑅 ) ) )
11 9 10 syl3an3b ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 ≤ 𝑋 ↔ ( 𝐴 · 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 · 𝑅 ) ) )
12 11 3expb ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝑋 ↔ ( 𝐴 · 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 · 𝑅 ) ) )
13 12 adantlr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝑋 ↔ ( 𝐴 · 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 · 𝑅 ) ) )
14 1 breq1i ⊢ ( ( 𝐴 · 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 · 𝑅 ) ↔ 𝐶 ≤ ( 𝑋 · 𝑅 ) )
15 13 14 bitrdi ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ ( 𝑋 · 𝑅 ) ) )
16 lemul1 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅 ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 · 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 · 𝑅 ) ) )
17 9 16 syl3an3b ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 · 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 · 𝑅 ) ) )
18 17 3expb ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 · 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 · 𝑅 ) ) )
19 18 an12s ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 · 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 · 𝑅 ) ) )
20 19 adantll ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 · 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 · 𝑅 ) ) )
21 2 breq2i ⊢ ( ( 𝑋 · 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 · 𝑅 ) ↔ ( 𝑋 · 𝑅 ) ≤ 𝐷 )
22 20 21 bitrdi ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 · 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) )
23 8 15 22 3anbi123d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 · 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 · 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
24 elicc2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ) ) )
25 24 adantr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ) ) )
26 remulcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 · 𝑅 ) ∈ ℝ )
27 1 26 eqeltrrid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℝ )
28 remulcl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 · 𝑅 ) ∈ ℝ )
29 2 28 eqeltrrid ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝐷 ∈ ℝ )
30 elicc2 ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 · 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 · 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
31 27 29 30 syl2an ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 · 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 · 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
32 31 anandirs ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 · 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 · 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
33 4 32 sylan2 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 · 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 · 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
34 33 adantrl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 · 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 · 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
35 23 25 34 3bitr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 · 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ) )