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Theorem hvsub4

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 17-Oct-1999) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion hvsub4 ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) −ℎ ( 𝐶 +ℎ 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) +ℎ ( 𝐵 −ℎ 𝐷 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hvaddcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) ∈ ℋ )
2 hvaddcl ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) → ( 𝐶 +ℎ 𝐷 ) ∈ ℋ )
3 hvsubval ⊢ ( ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) ∈ ℋ ∧ ( 𝐶 +ℎ 𝐷 ) ∈ ℋ ) → ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) −ℎ ( 𝐶 +ℎ 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) +ℎ ( - 1 ·ℎ ( 𝐶 +ℎ 𝐷 ) ) ) )
4 1 2 3 syl2an ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) −ℎ ( 𝐶 +ℎ 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) +ℎ ( - 1 ·ℎ ( 𝐶 +ℎ 𝐷 ) ) ) )
5 hvsubval ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) = ( 𝐴 +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) ) )
6 5 ad2ant2r ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) ) → ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) = ( 𝐴 +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) ) )
7 hvsubval ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) → ( 𝐵 −ℎ 𝐷 ) = ( 𝐵 +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ) )
8 7 ad2ant2l ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) ) → ( 𝐵 −ℎ 𝐷 ) = ( 𝐵 +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ) )
9 6 8 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) +ℎ ( 𝐵 −ℎ 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) ) +ℎ ( 𝐵 +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ) ) )
10 neg1cn ⊢ - 1 ∈ ℂ
11 ax-hvdistr1 ⊢ ( ( - 1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) → ( - 1 ·ℎ ( 𝐶 +ℎ 𝐷 ) ) = ( ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ) )
12 10 11 mp3an1 ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) → ( - 1 ·ℎ ( 𝐶 +ℎ 𝐷 ) ) = ( ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ) )
13 12 adantl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) ) → ( - 1 ·ℎ ( 𝐶 +ℎ 𝐷 ) ) = ( ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ) )
14 13 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) +ℎ ( - 1 ·ℎ ( 𝐶 +ℎ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) +ℎ ( ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ) ) )
15 hvmulcl ⊢ ( ( - 1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) → ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) ∈ ℋ )
16 10 15 mpan ⊢ ( 𝐶 ∈ ℋ → ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) ∈ ℋ )
17 16 anim2i ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) → ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) ∈ ℋ ) )
18 hvmulcl ⊢ ( ( - 1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) → ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ∈ ℋ )
19 10 18 mpan ⊢ ( 𝐷 ∈ ℋ → ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ∈ ℋ )
20 19 anim2i ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) → ( 𝐵 ∈ ℋ ∧ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ∈ ℋ ) )
21 17 20 anim12i ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℋ ∧ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ∈ ℋ ) ) )
22 21 an4s ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℋ ∧ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ∈ ℋ ) ) )
23 hvadd4 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℋ ∧ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) ) +ℎ ( 𝐵 +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) +ℎ ( ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ) ) )
24 22 23 syl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) ) +ℎ ( 𝐵 +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) +ℎ ( ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ) ) )
25 14 24 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) +ℎ ( - 1 ·ℎ ( 𝐶 +ℎ 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐴 +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐶 ) ) +ℎ ( 𝐵 +ℎ ( - 1 ·ℎ 𝐷 ) ) ) )
26 9 25 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) +ℎ ( 𝐵 −ℎ 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) +ℎ ( - 1 ·ℎ ( 𝐶 +ℎ 𝐷 ) ) ) )
27 4 26 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ) ) → ( ( 𝐴 +ℎ 𝐵 ) −ℎ ( 𝐶 +ℎ 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) +ℎ ( 𝐵 −ℎ 𝐷 ) ) )