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Theorem fzoss2

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015)

Ref Expression
Assertion fzoss2 ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → ( 𝑀 ..^ 𝐾 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eluzel2 ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
2 peano2zm ⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℤ )
3 1 2 syl ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℤ )
4 1zzd ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → 1 ∈ ℤ )
5 id ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) )
6 1 zcnd ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ℂ )
7 ax-1cn ⊢ 1 ∈ ℂ
8 npcan ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) = 𝐾 )
9 6 7 8 sylancl ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) = 𝐾 )
10 9 fveq2d ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) )
11 5 10 eleqtrrd ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) )
12 eluzsub ⊢ ( ( ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐾 − 1 ) ) )
13 3 4 11 12 syl3anc ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐾 − 1 ) ) )
14 fzss2 ⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐾 − 1 ) ) → ( 𝑀 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ⊆ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
15 13 14 syl ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → ( 𝑀 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ⊆ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
16 fzoval ⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝑀 ..^ 𝐾 ) = ( 𝑀 ... ( 𝐾 − 1 ) ) )
17 1 16 syl ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → ( 𝑀 ..^ 𝐾 ) = ( 𝑀 ... ( 𝐾 − 1 ) ) )
18 eluzelz ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
19 fzoval ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
20 18 19 syl ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
21 15 17 20 3sstr4d ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → ( 𝑀 ..^ 𝐾 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )