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Theorem fzoss1

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015)

Ref Expression
Assertion fzoss1 ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sseq1 ⊢ ( ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) = ∅ → ( ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ ∅ ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ) )
2 fzon0 ⊢ ( ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ≠ ∅ ↔ 𝐾 ∈ ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) )
3 elfzoel2 ⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
4 2 3 sylbi ⊢ ( ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ≠ ∅ → 𝑁 ∈ ℤ )
5 fzss1 ⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
6 5 adantr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
7 fzoval ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) = ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
8 7 adantl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) = ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
9 fzoval ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
10 9 adantl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
11 6 8 10 3sstr4d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )
12 4 11 sylan2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ≠ ∅ ) → ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )
13 0ss ⊢ ∅ ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 )
14 13 a1i ⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ∅ ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )
15 1 12 14 pm2.61ne ⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )