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Theorem dvdsmultr1

Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012)

Ref Expression
Assertion dvdsmultr1 ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dvdsmul1 ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) )
2 1 3adant1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) )
3 zmulcl ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∈ ℤ )
4 3 3adant1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∈ ℤ )
5 dvdstr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) → 𝐾 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) )
6 4 5 syld3an3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) → 𝐾 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) )
7 2 6 mpan2d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) )