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Theorem dvds0lem

Description: A lemma to assist theorems of || with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011)

Ref Expression
Assertion dvds0lem ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 ) → 𝑀 ∥ 𝑁 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝐾 → ( 𝑥 · 𝑀 ) = ( 𝐾 · 𝑀 ) )
2 1 eqeq1d ⊢ ( 𝑥 = 𝐾 → ( ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ↔ ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
3 2 rspcev ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 )
4 3 adantl ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 )
5 divides ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
6 5 adantr ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 ) ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
7 4 6 mpbird ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 ) ) → 𝑀 ∥ 𝑁 )
8 7 expr ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁 ) )
9 8 3impa ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁 ) )
10 9 3comr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁 ) )
11 10 imp ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 ) → 𝑀 ∥ 𝑁 )