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Theorem divdiv32

Description: Swap denominators in a division. (Contributed by NM, 2-Aug-2004)

Ref Expression
Assertion divdiv32 ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / 𝐶 ) = ( ( 𝐴 / 𝐶 ) / 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 reccl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℂ )
2 div23 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 · ( 1 / 𝐵 ) ) / 𝐶 ) = ( ( 𝐴 / 𝐶 ) · ( 1 / 𝐵 ) ) )
3 1 2 syl3an2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 · ( 1 / 𝐵 ) ) / 𝐶 ) = ( ( 𝐴 / 𝐶 ) · ( 1 / 𝐵 ) ) )
4 divrec ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐴 / 𝐵 ) = ( 𝐴 · ( 1 / 𝐵 ) ) )
5 4 3expb ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 / 𝐵 ) = ( 𝐴 · ( 1 / 𝐵 ) ) )
6 5 3adant3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 / 𝐵 ) = ( 𝐴 · ( 1 / 𝐵 ) ) )
7 6 oveq1d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / 𝐶 ) = ( ( 𝐴 · ( 1 / 𝐵 ) ) / 𝐶 ) )
8 divcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) → ( 𝐴 / 𝐶 ) ∈ ℂ )
9 8 3expb ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 / 𝐶 ) ∈ ℂ )
10 divrec ⊢ ( ( ( 𝐴 / 𝐶 ) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) / 𝐵 ) = ( ( 𝐴 / 𝐶 ) · ( 1 / 𝐵 ) ) )
11 9 10 syl3an1 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) / 𝐵 ) = ( ( 𝐴 / 𝐶 ) · ( 1 / 𝐵 ) ) )
12 11 3expb ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) / 𝐵 ) = ( ( 𝐴 / 𝐶 ) · ( 1 / 𝐵 ) ) )
13 12 3impa ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) / 𝐵 ) = ( ( 𝐴 / 𝐶 ) · ( 1 / 𝐵 ) ) )
14 13 3com23 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) / 𝐵 ) = ( ( 𝐴 / 𝐶 ) · ( 1 / 𝐵 ) ) )
15 3 7 14 3eqtr4d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / 𝐶 ) = ( ( 𝐴 / 𝐶 ) / 𝐵 ) )