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Theorem difsnexi

Description: If the difference of a class and a singleton is a set, the class itself is a set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019)

Ref Expression
Assertion difsnexi ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ V → 𝑁 ∈ V )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ V ) → ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ V )
2 snex ⊢ { 𝐾 } ∈ V
3 unexg ⊢ ( ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ V ∧ { 𝐾 } ∈ V ) → ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∪ { 𝐾 } ) ∈ V )
4 1 2 3 sylancl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ V ) → ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∪ { 𝐾 } ) ∈ V )
5 difsnid ⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑁 → ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∪ { 𝐾 } ) = 𝑁 )
6 5 eqcomd ⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∪ { 𝐾 } ) )
7 6 eleq1d ⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑁 → ( 𝑁 ∈ V ↔ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∪ { 𝐾 } ) ∈ V ) )
8 7 adantr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ V ) → ( 𝑁 ∈ V ↔ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∪ { 𝐾 } ) ∈ V ) )
9 4 8 mpbird ⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ V ) → 𝑁 ∈ V )
10 9 ex ⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑁 → ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ V → 𝑁 ∈ V ) )
11 difsn ⊢ ( ¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) = 𝑁 )
12 11 eleq1d ⊢ ( ¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ V ↔ 𝑁 ∈ V ) )
13 12 biimpd ⊢ ( ¬ 𝐾 ∈ 𝑁 → ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ V → 𝑁 ∈ V ) )
14 10 13 pm2.61i ⊢ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ V → 𝑁 ∈ V )