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Theorem difsnexi

Description: If the difference of a class and a singleton is a set, the class itself is a set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019)

Ref Expression
Assertion difsnexi 
|- ( ( N \ { K } ) e. _V -> N e. _V )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpr 
 |-  ( ( K e. N /\ ( N \ { K } ) e. _V ) -> ( N \ { K } ) e. _V )
2 snex 
 |-  { K } e. _V
3 unexg 
 |-  ( ( ( N \ { K } ) e. _V /\ { K } e. _V ) -> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) e. _V )
4 1 2 3 sylancl 
 |-  ( ( K e. N /\ ( N \ { K } ) e. _V ) -> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) e. _V )
5 difsnid 
 |-  ( K e. N -> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) = N )
6 5 eqcomd 
 |-  ( K e. N -> N = ( ( N \ { K } ) u. { K } ) )
7 6 eleq1d 
 |-  ( K e. N -> ( N e. _V <-> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) e. _V ) )
8 7 adantr 
 |-  ( ( K e. N /\ ( N \ { K } ) e. _V ) -> ( N e. _V <-> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) e. _V ) )
9 4 8 mpbird 
 |-  ( ( K e. N /\ ( N \ { K } ) e. _V ) -> N e. _V )
10 9 ex 
 |-  ( K e. N -> ( ( N \ { K } ) e. _V -> N e. _V ) )
11 difsn 
 |-  ( -. K e. N -> ( N \ { K } ) = N )
12 11 eleq1d 
 |-  ( -. K e. N -> ( ( N \ { K } ) e. _V <-> N e. _V ) )
13 12 biimpd 
 |-  ( -. K e. N -> ( ( N \ { K } ) e. _V -> N e. _V ) )
14 10 13 pm2.61i 
 |-  ( ( N \ { K } ) e. _V -> N e. _V )