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Theorem dalem38

Description: Lemma for dath . Plane Y belongs to the 3-dimensional volume G H I c . (Contributed by NM, 5-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
dalem38.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dalem38.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalem38.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
dalem38.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
dalem38.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) )
dalem38.h ⊢ 𝐻 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) )
dalem38.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) )
Assertion dalem38 ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑌 ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
6 dalem38.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
7 dalem38.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
8 dalem38.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
9 dalem38.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
10 dalem38.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) )
11 dalem38.h ⊢ 𝐻 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) )
12 dalem38.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) )
13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dalem28 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑃 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝑐 ) )
14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 dalem33 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑄 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝑐 ) )
15 1 dalemkelat ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ Lat )
16 15 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ Lat )
17 1 4 dalempeb ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 17 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 1 dalemkehl ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL )
20 19 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ HL )
21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dalem23 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐺 ∈ 𝐴 )
22 5 dalemccea ⊢ ( 𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴 )
23 22 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑐 ∈ 𝐴 )
24 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
25 24 3 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐺 ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26 20 21 23 25 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝐺 ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27 1 4 dalemqeb ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 27 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 dalem29 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐻 ∈ 𝐴 )
30 24 3 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐻 ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
31 20 29 23 30 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝐻 ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32 24 2 3 latjlej12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝐺 ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝐻 ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑃 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝑐 ) ∧ 𝑄 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝑐 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝐺 ∨ 𝑐 ) ∨ ( 𝐻 ∨ 𝑐 ) ) ) )
33 16 18 26 28 31 32 syl122anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑃 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝑐 ) ∧ 𝑄 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝑐 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝐺 ∨ 𝑐 ) ∨ ( 𝐻 ∨ 𝑐 ) ) ) )
34 13 14 33 mp2and ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝐺 ∨ 𝑐 ) ∨ ( 𝐻 ∨ 𝑐 ) ) )
35 24 4 atbase ⊢ ( 𝐺 ∈ 𝐴 → 𝐺 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
36 21 35 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐺 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
37 24 4 atbase ⊢ ( 𝐻 ∈ 𝐴 → 𝐻 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
38 29 37 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐻 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
39 5 4 dalemcceb ⊢ ( 𝜓 → 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
40 39 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
41 24 3 latjjdir ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐺 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐻 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) = ( ( 𝐺 ∨ 𝑐 ) ∨ ( 𝐻 ∨ 𝑐 ) ) )
42 16 36 38 40 41 syl13anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) = ( ( 𝐺 ∨ 𝑐 ) ∨ ( 𝐻 ∨ 𝑐 ) ) )
43 34 42 breqtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) )
44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 dalem37 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑅 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝑐 ) )
45 1 3 4 dalempjqeb ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
46 45 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
47 24 3 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
48 20 21 29 47 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
49 24 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
50 16 48 40 49 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
51 1 4 dalemreb ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
52 51 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
53 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 dalem34 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐼 ∈ 𝐴 )
54 24 3 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐼 ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
55 20 53 23 54 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝐼 ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
56 24 2 3 latjlej12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝐼 ∨ 𝑐 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝑐 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) ∨ ( 𝐼 ∨ 𝑐 ) ) ) )
57 16 46 50 52 55 56 syl122anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝑐 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) ∨ ( 𝐼 ∨ 𝑐 ) ) ) )
58 43 44 57 mp2and ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) ∨ ( 𝐼 ∨ 𝑐 ) ) )
59 24 4 atbase ⊢ ( 𝐼 ∈ 𝐴 → 𝐼 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
60 53 59 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐼 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
61 24 3 latjjdir ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐼 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) = ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) ∨ ( 𝐼 ∨ 𝑐 ) ) )
62 16 48 60 40 61 syl13anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) = ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝑐 ) ∨ ( 𝐼 ∨ 𝑐 ) ) )
63 58 62 breqtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) )
64 8 63 eqbrtrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑌 ≤ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∨ 𝑐 ) )