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Theorem chj4

Description: Rearrangement of the join of 4 Hilbert lattice elements. (Contributed by NM, 15-Jun-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion chj4 ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐶 ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 chj12 ⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) )
2 1 3expb ⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( 𝐵 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) )
3 2 adantll ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( 𝐵 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) )
4 3 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
5 chjcl ⊢ ( ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) → ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ∈ Cℋ )
6 chjass ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
7 6 3expa ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
8 5 7 sylan2 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
9 chjcl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ∈ Cℋ )
10 chjass ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐶 ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
11 10 3expa ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐶 ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
12 9 11 sylan2 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐶 ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
13 12 an4s ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐶 ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
14 4 8 13 3eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐶 ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) )