cdlemk11u

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 17, p. 119, showing Eq. 3 (line 8, p. 119) for the sigma_1 ( U ) case. (Contributed by NM, 4-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk1.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk1.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk1.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk1.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemk1.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk1.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk1.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk1.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk1.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ^◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
	cdlemk1.o	⊢ 𝑂 = ( 𝑆 ‘ 𝐷 )
	cdlemk1.u	⊢ 𝑈 = ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝐷 ) ) ) ) ) )
	cdlemk1.v	⊢ 𝑉 = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ^◡ 𝐷 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐷 ) ) ) )
Assertion	cdlemk11u	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk1.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk1.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk1.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk1.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemk1.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemk1.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemk1.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk1.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9		cdlemk1.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ^◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
10		cdlemk1.o	⊢ 𝑂 = ( 𝑆 ‘ 𝐷 )
11		cdlemk1.u	⊢ 𝑈 = ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝐷 ) ) ) ) ) )
12		cdlemk1.v	⊢ 𝑉 = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ^◡ 𝐷 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐷 ) ) ) )
13		simp11l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
14	13	hllatd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
15		simp11r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
16	13 15	jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
17		simp23	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) )
18		simp212	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
19		simp12	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
20		simp13	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝐷 ∈ 𝑇 )
21		simp211	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 )
22		simp331	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
23		simp332	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) )
24	23	necomd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
25	22 24	jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
26		simp311	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
27		simp313	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
28		simp312	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
29	26 27 28	3jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
30		simp22	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
31	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemkuat	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
32	16 17 18 19 20 21 25 29 30 31	syl333anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
33	1 5	atbase	⊢ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
34	32 33	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
35		simp213	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑇 )
36		simp333	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) )
37	36	necomd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) )
38	22 37	jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) )
39		simp32	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
40	26 39 28	3jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
41	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemkuat	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
42	16 17 35 19 20 21 38 40 30 41	syl333anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
43	1 5	atbase	⊢ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
44	42 43	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
45		simp22l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
46	1 2 3 5 6 7 8 4 12	cdlemkvcl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → 𝑉 ∈ 𝐵 )
47	13 15 20 18 35 45 46	syl231anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝑉 ∈ 𝐵 )
48	1 3	latjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑉 ) ∈ 𝐵 )
49	14 44 47 48	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑉 ) ∈ 𝐵 )
50	6 7	ltrncnv	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ^◡ 𝐺 ∈ 𝑇 )
51	16 18 50	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ^◡ 𝐺 ∈ 𝑇 )
52	6 7	ltrnco	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ^◡ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
53	16 35 51 52	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
54	1 6 7 8	trlcl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
55	16 53 54	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
56	1 3	latjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ) ∈ 𝐵 )
57	14 44 55 56	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ) ∈ 𝐵 )
58	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	cdlemk7u	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑉 ) )
59	1 2 3 5 6 7 8 4 12	cdlemk10	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑉 ≤ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) )
60	13 15 20 18 35 30 59	syl231anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝑉 ≤ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) )
61	1 2 3	latjlej2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑉 ≤ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑉 ) ≤ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ) ) )
62	14 47 55 44 61	syl13anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑉 ≤ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑉 ) ≤ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ) ) )
63	60 62	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑉 ) ≤ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ) )
64	1 2 14 34 49 57 58 63	lattrd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ^◡ 𝐺 ) ) ) )

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Theorem cdlemk11u

Proof