This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemkvcl

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 27-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk.v1 ⊢ 𝑉 = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
Assertion cdlemkvcl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → 𝑉 ∈ 𝐵 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemk.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemk.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemk.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
9 cdlemk.v1 ⊢ 𝑉 = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
10 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ HL )
11 10 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ Lat )
12 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
13 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
14 1 4 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵 )
15 14 3ad2ant3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → 𝑃 ∈ 𝐵 )
16 1 5 6 ltrncl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
17 12 13 15 16 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
18 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → 𝑋 ∈ 𝑇 )
19 1 5 6 ltrncl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
20 12 18 15 19 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
21 1 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∈ 𝐵 )
22 11 17 20 21 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∈ 𝐵 )
23 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
24 5 6 ltrncnv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 )
25 12 23 24 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 )
26 5 6 ltrnco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
27 12 13 25 26 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
28 1 5 6 7 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
29 12 27 28 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
30 5 6 ltrnco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
31 12 18 25 30 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
32 1 5 6 7 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
33 12 31 32 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
34 1 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 )
35 11 29 33 34 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 )
36 1 8 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
37 11 22 35 36 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
38 9 37 eqeltrid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → 𝑉 ∈ 𝐵 )