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Theorem cdlemg33a

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Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg12.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg12.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemg12.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg12.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg12.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg12b.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg31.n ⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
cdlemg33.o ⊢ 𝑂 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
Assertion cdlemg33a ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg12.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg12.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemg12.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemg12.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemg12.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemg12b.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemg31.n ⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
9 cdlemg33.o ⊢ 𝑂 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
10 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
11 simp12 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
12 simp13 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) )
13 simp22l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝐴 )
14 simp21 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) )
15 simp23l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
16 simp32 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
17 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemg31d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) ) → ¬ 𝑁 ≤ 𝑊 )
18 10 11 12 14 15 16 13 17 syl133anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ¬ 𝑁 ≤ 𝑊 )
19 13 18 jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊 ) )
20 simp31l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
21 simp22r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑂 ∈ 𝐴 )
22 simp31r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑁 ≠ 𝑂 )
23 21 22 jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑂 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) )
24 simp33 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) )
25 1 2 4 5 4atex3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑂 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ) ) )
26 10 11 12 19 20 23 24 25 syl133anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ) ) )
27 idd ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑧 ≠ 𝑁 → 𝑧 ≠ 𝑁 ) )
28 idd ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑧 ≠ 𝑂 → 𝑧 ≠ 𝑂 ) )
29 simp12l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
30 simp13l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
31 simp21l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑣 ∈ 𝐴 )
32 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemg31a ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ) → 𝑁 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
33 10 29 30 31 15 32 syl122anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑁 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
34 simp23r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
35 1 2 3 4 5 6 7 9 cdlemg31a ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) → 𝑂 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
36 10 29 30 31 34 35 syl122anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑂 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
37 simp11l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
38 37 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
39 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
40 39 4 atbase ⊢ ( 𝑁 ∈ 𝐴 → 𝑁 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
41 13 40 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
42 39 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
43 37 29 31 42 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 39 4 atbase ⊢ ( 𝑂 ∈ 𝐴 → 𝑂 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
45 21 44 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑂 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
46 39 1 2 latjlej12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑁 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑂 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑁 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑂 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) → ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) )
47 38 41 43 45 43 46 syl122anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝑁 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑂 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) → ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) )
48 33 36 47 mp2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) )
49 39 2 latjidm ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) = ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
50 38 43 49 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) = ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
51 48 50 breqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
52 51 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
53 38 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ Lat )
54 39 4 atbase ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
55 54 adantl ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
56 39 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
57 37 13 21 56 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
58 57 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
59 43 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
60 39 1 lattr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ∧ ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) → 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) )
61 53 55 58 59 60 syl13anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ∧ ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) → 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) )
62 52 61 mpan2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) → 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) )
63 27 28 62 3anim123d ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ) → ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) )
64 63 anim2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ) ) → ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) )
65 64 reximdva ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑂 ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) )
66 26 65 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) )