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Theorem binom

Description: The binomial theorem: ( A + B ) ^ N is the sum from k = 0 to N of ( N _C k ) x. ( ( A ^ k ) x. ( B ^ ( N - k ) ) . Theorem 15-2.8 of Gleason p. 296. This part of the proof sets up the induction and does the base case, with the bulk of the work (the induction step) in binomlem . This is Metamath 100 proof #44. (Contributed by NM, 7-Dec-2005) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014)

Ref Expression
Assertion binom ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑁 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 0 ) )
2 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 0 ... 𝑥 ) = ( 0 ... 0 ) )
3 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 C 𝑘 ) = ( 0 C 𝑘 ) )
4 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 − 𝑘 ) = ( 0 − 𝑘 ) )
5 4 oveq2d ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) = ( 𝐴 ↑ ( 0 − 𝑘 ) ) )
6 5 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 ↑ ( 0 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) )
7 3 6 oveq12d ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 0 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
8 7 adantr ⊢ ( ( 𝑥 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ) → ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 0 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
9 2 8 sumeq12dv ⊢ ( 𝑥 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 0 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
10 1 9 eqeq12d ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑥 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 0 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 0 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
11 10 imbi2d ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑥 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 0 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 0 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) )
12 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑛 → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑛 ) )
13 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑛 → ( 0 ... 𝑥 ) = ( 0 ... 𝑛 ) )
14 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑛 → ( 𝑥 C 𝑘 ) = ( 𝑛 C 𝑘 ) )
15 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑛 → ( 𝑥 − 𝑘 ) = ( 𝑛 − 𝑘 ) )
16 15 oveq2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑛 → ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) = ( 𝐴 ↑ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) )
17 16 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = 𝑛 → ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) )
18 14 17 oveq12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑛 → ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
19 18 adantr ⊢ ( ( 𝑥 = 𝑛 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ) → ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
20 13 19 sumeq12dv ⊢ ( 𝑥 = 𝑛 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
21 12 20 eqeq12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑛 → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑥 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑛 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
22 21 imbi2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑛 → ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑥 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑛 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) )
23 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑛 + 1 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ ( 𝑛 + 1 ) ) )
24 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑛 + 1 ) → ( 0 ... 𝑥 ) = ( 0 ... ( 𝑛 + 1 ) ) )
25 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑛 + 1 ) → ( 𝑥 C 𝑘 ) = ( ( 𝑛 + 1 ) C 𝑘 ) )
26 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑛 + 1 ) → ( 𝑥 − 𝑘 ) = ( ( 𝑛 + 1 ) − 𝑘 ) )
27 26 oveq2d ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑛 + 1 ) → ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) = ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑛 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
28 27 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑛 + 1 ) → ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑛 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) )
29 25 28 oveq12d ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑛 + 1 ) → ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝑛 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑛 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
30 29 adantr ⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑛 + 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ) → ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝑛 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑛 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
31 24 30 sumeq12dv ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑛 + 1 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑛 + 1 ) ) ( ( ( 𝑛 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑛 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
32 23 31 eqeq12d ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑛 + 1 ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑥 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ ( 𝑛 + 1 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑛 + 1 ) ) ( ( ( 𝑛 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑛 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
33 32 imbi2d ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑛 + 1 ) → ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑥 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ ( 𝑛 + 1 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑛 + 1 ) ) ( ( ( 𝑛 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑛 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) )
34 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑁 → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑥 ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑁 ) )
35 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑁 → ( 0 ... 𝑥 ) = ( 0 ... 𝑁 ) )
36 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑁 → ( 𝑥 C 𝑘 ) = ( 𝑁 C 𝑘 ) )
37 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑁 → ( 𝑥 − 𝑘 ) = ( 𝑁 − 𝑘 ) )
38 37 oveq2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑁 → ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) = ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) )
39 38 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = 𝑁 → ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) )
40 36 39 oveq12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑁 → ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
41 40 adantr ⊢ ( ( 𝑥 = 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ) → ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
42 35 41 sumeq12dv ⊢ ( 𝑥 = 𝑁 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
43 34 42 eqeq12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑁 → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑥 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑁 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
44 43 imbi2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑁 → ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑥 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑥 ) ( ( 𝑥 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑥 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑁 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) )
45 exp0 ⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝐴 ↑ 0 ) = 1 )
46 exp0 ⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( 𝐵 ↑ 0 ) = 1 )
47 45 46 oveqan12d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 ↑ 0 ) · ( 𝐵 ↑ 0 ) ) = ( 1 · 1 ) )
48 1t1e1 ⊢ ( 1 · 1 ) = 1
49 47 48 eqtrdi ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 ↑ 0 ) · ( 𝐵 ↑ 0 ) ) = 1 )
50 49 oveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 1 · ( ( 𝐴 ↑ 0 ) · ( 𝐵 ↑ 0 ) ) ) = ( 1 · 1 ) )
51 50 48 eqtrdi ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 1 · ( ( 𝐴 ↑ 0 ) · ( 𝐵 ↑ 0 ) ) ) = 1 )
52 0z ⊢ 0 ∈ ℤ
53 ax-1cn ⊢ 1 ∈ ℂ
54 51 53 eqeltrdi ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 1 · ( ( 𝐴 ↑ 0 ) · ( 𝐵 ↑ 0 ) ) ) ∈ ℂ )
55 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 C 𝑘 ) = ( 0 C 0 ) )
56 0nn0 ⊢ 0 ∈ ℕ0
57 bcn0 ⊢ ( 0 ∈ ℕ0 → ( 0 C 0 ) = 1 )
58 56 57 ax-mp ⊢ ( 0 C 0 ) = 1
59 55 58 eqtrdi ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 C 𝑘 ) = 1 )
60 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 − 𝑘 ) = ( 0 − 0 ) )
61 0m0e0 ⊢ ( 0 − 0 ) = 0
62 60 61 eqtrdi ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 0 − 𝑘 ) = 0 )
63 62 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐴 ↑ ( 0 − 𝑘 ) ) = ( 𝐴 ↑ 0 ) )
64 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) = ( 𝐵 ↑ 0 ) )
65 63 64 oveq12d ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐴 ↑ ( 0 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 ↑ 0 ) · ( 𝐵 ↑ 0 ) ) )
66 59 65 oveq12d ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 0 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( 1 · ( ( 𝐴 ↑ 0 ) · ( 𝐵 ↑ 0 ) ) ) )
67 66 fsum1 ⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ ( 1 · ( ( 𝐴 ↑ 0 ) · ( 𝐵 ↑ 0 ) ) ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 0 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( 1 · ( ( 𝐴 ↑ 0 ) · ( 𝐵 ↑ 0 ) ) ) )
68 52 54 67 sylancr ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 0 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( 1 · ( ( 𝐴 ↑ 0 ) · ( 𝐵 ↑ 0 ) ) ) )
69 addcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ )
70 69 exp0d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 0 ) = 1 )
71 51 68 70 3eqtr4rd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 0 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 0 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
72 simprl ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
73 simprr ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
74 simpl ⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ) → 𝑛 ∈ ℕ0 )
75 id ⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑛 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑛 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
76 72 73 74 75 binomlem ⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ) ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑛 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ ( 𝑛 + 1 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑛 + 1 ) ) ( ( ( 𝑛 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑛 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
77 76 exp31 ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 → ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑛 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ ( 𝑛 + 1 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑛 + 1 ) ) ( ( ( 𝑛 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑛 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) )
78 77 a2d ⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑛 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑛 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ ( 𝑛 + 1 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑛 + 1 ) ) ( ( ( 𝑛 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑛 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) )
79 11 22 33 44 71 78 nn0ind ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑁 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
80 79 impcom ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑁 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
81 80 3impa ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑ 𝑁 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )