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Theorem ablo4

Description: Commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by NM, 26-Apr-2007) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypothesis ablcom.1 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
Assertion ablo4 ( ( 𝐺 ∈ AbelOp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) 𝐺 ( 𝐶 𝐺 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐵 𝐺 𝐷 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ablcom.1 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
2 simprll ⊢ ( ( 𝐺 ∈ AbelOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑋 )
3 simprlr ⊢ ( ( 𝐺 ∈ AbelOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑋 )
4 simprrl ⊢ ( ( 𝐺 ∈ AbelOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑋 )
5 2 3 4 3jca ⊢ ( ( 𝐺 ∈ AbelOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) )
6 1 ablo32 ⊢ ( ( 𝐺 ∈ AbelOp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) 𝐺 𝐶 ) = ( ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) 𝐺 𝐵 ) )
7 5 6 syldan ⊢ ( ( 𝐺 ∈ AbelOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) 𝐺 𝐶 ) = ( ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) 𝐺 𝐵 ) )
8 7 oveq1d ⊢ ( ( 𝐺 ∈ AbelOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) 𝐺 𝐶 ) 𝐺 𝐷 ) = ( ( ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) 𝐺 𝐵 ) 𝐺 𝐷 ) )
9 ablogrpo ⊢ ( 𝐺 ∈ AbelOp → 𝐺 ∈ GrpOp )
10 1 grpocl ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) ∈ 𝑋 )
11 10 3expb ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) ∈ 𝑋 )
12 11 adantrr ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) ∈ 𝑋 )
13 simprrl ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑋 )
14 simprrr ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → 𝐷 ∈ 𝑋 )
15 12 13 14 3jca ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) )
16 1 grpoass ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ ( ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) 𝐺 𝐶 ) 𝐺 𝐷 ) = ( ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) 𝐺 ( 𝐶 𝐺 𝐷 ) ) )
17 15 16 syldan ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) 𝐺 𝐶 ) 𝐺 𝐷 ) = ( ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) 𝐺 ( 𝐶 𝐺 𝐷 ) ) )
18 9 17 sylan ⊢ ( ( 𝐺 ∈ AbelOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) 𝐺 𝐶 ) 𝐺 𝐷 ) = ( ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) 𝐺 ( 𝐶 𝐺 𝐷 ) ) )
19 1 grpocl ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) ∈ 𝑋 )
20 19 3expb ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) ∈ 𝑋 )
21 20 adantrlr ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) ∈ 𝑋 )
22 21 adantrrr ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) ∈ 𝑋 )
23 simprlr ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑋 )
24 22 23 14 3jca ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) )
25 1 grpoass ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ ( ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) 𝐺 𝐵 ) 𝐺 𝐷 ) = ( ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐵 𝐺 𝐷 ) ) )
26 24 25 syldan ⊢ ( ( 𝐺 ∈ GrpOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) 𝐺 𝐵 ) 𝐺 𝐷 ) = ( ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐵 𝐺 𝐷 ) ) )
27 9 26 sylan ⊢ ( ( 𝐺 ∈ AbelOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) 𝐺 𝐵 ) 𝐺 𝐷 ) = ( ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐵 𝐺 𝐷 ) ) )
28 8 18 27 3eqtr3d ⊢ ( ( 𝐺 ∈ AbelOp ∧ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) 𝐺 ( 𝐶 𝐺 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐵 𝐺 𝐷 ) ) )
29 28 3impb ⊢ ( ( 𝐺 ∈ AbelOp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) 𝐺 ( 𝐶 𝐺 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 𝐺 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐵 𝐺 𝐷 ) ) )