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Theorem 4atlem12a

Description: Lemma for 4at . Substitute T for P . (Contributed by NM, 9-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses 4at.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
4at.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4at.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion 4atlem12a ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 4at.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 4at.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 4at.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
5 simp12 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
6 simp13 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
7 4 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
8 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
9 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝑉 ∈ 𝐴 )
10 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
11 10 2 3 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12 4 8 9 11 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
13 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐴 )
14 10 3 atbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐴 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15 13 14 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 10 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17 7 12 15 16 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 simp3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) )
19 10 1 2 3 hlexchb2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑇 ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ) )
20 4 5 6 17 18 19 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑇 ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ) )
21 1 2 3 4atlem4a ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑇 ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) )
22 4 6 8 9 13 21 syl32anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑇 ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) )
23 22 breq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ) )
24 1 2 3 4atlem4a ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) )
25 4 5 8 9 13 24 syl32anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) )
26 25 22 eqeq12d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑇 ∨ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ) )
27 20 23 26 3bitr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )