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Theorem 4atlem12b

Description: Lemma for 4at . Substitute T for P (cont.). (Contributed by NM, 11-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses 4at.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
4at.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4at.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion 4atlem12b ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 4at.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 4at.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 4at.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) )
5 simp121 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
6 simp122 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
7 5 6 jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) )
8 simp13 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) )
9 4 7 8 3jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) )
10 simp2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) )
11 9 10 jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) )
12 simp3lr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
13 simp3rl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
14 simp3rr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
15 simp111 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
16 15 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
17 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
18 17 3 atbase ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 5 18 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20 17 3 atbase ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 6 20 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 simp123 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
23 simp131 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
24 17 2 3 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 15 22 23 24 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26 simp132 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑉 ∈ 𝐴 )
27 simp133 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐴 )
28 17 2 3 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29 15 26 27 28 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 17 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
31 16 25 29 30 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32 17 1 2 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ↔ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )
33 16 19 21 31 32 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ↔ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )
34 13 14 33 mpbi2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
35 simp113 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
36 17 3 atbase ⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
37 35 36 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
38 17 2 3 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
39 15 5 6 38 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
40 17 1 2 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ↔ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )
41 16 37 39 31 40 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ↔ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )
42 12 34 41 mpbi2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
43 simp3ll ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
44 simp112 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
45 simp2r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) )
46 1 2 3 4atlem12a ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )
47 15 44 22 8 45 46 syl311anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )
48 43 47 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
49 42 48 breqtrrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
50 1 2 3 4atlem11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )
51 11 49 50 sylc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )
52 51 48 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑈 ∨ 𝑉 ) ∨ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) )