3spthd

Description: A simple path of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 10-Feb-2021) (Revised by AV, 24-Mar-2021) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”⟩
	3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩
	3wlkd.s	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ) ) )
	3wlkd.n	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) )
	3wlkd.e	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝐴 , 𝐵 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) ∧ { 𝐶 , 𝐷 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐿 ) ) )
	3wlkd.v	⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 )
	3wlkd.i	⊢ 𝐼 = ( iEdg ‘ 𝐺 )
	3trld.n	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ≠ 𝐾 ∧ 𝐽 ≠ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿 ) )
	3spthd.n	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷 )
Assertion	3spthd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ( SPaths ‘ 𝐺 ) 𝑃 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”⟩
2		3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩
3		3wlkd.s	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ) ) )
4		3wlkd.n	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) )
5		3wlkd.e	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝐴 , 𝐵 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) ∧ { 𝐶 , 𝐷 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐿 ) ) )
6		3wlkd.v	⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 )
7		3wlkd.i	⊢ 𝐼 = ( iEdg ‘ 𝐺 )
8		3trld.n	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ≠ 𝐾 ∧ 𝐽 ≠ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿 ) )
9		3spthd.n	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷 )
10	1 2 3 4 5 6 7 8	3trld	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ( Trails ‘ 𝐺 ) 𝑃 )
11		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ( Trails ‘ 𝐺 ) 𝑃 ) → 𝐹 ( Trails ‘ 𝐺 ) 𝑃 )
12		df-3an	⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) )
13	12	simplbi2	⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ) → ( 𝐴 ≠ 𝐷 → ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ) )
14	13	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) → ( 𝐴 ≠ 𝐷 → ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ) )
15	9 14	mpan9	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) → ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) )
16		simpr2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) → ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) )
17		simpr3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) → 𝐶 ≠ 𝐷 )
18	15 16 17	3jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) )
19	4 18	mpdan	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) )
20		funcnvs4	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ) → Fun ^◡ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”⟩ )
21	3 19 20	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → Fun ^◡ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”⟩ )
22	21	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ( Trails ‘ 𝐺 ) 𝑃 ) → Fun ^◡ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”⟩ )
23	1	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ( Trails ‘ 𝐺 ) 𝑃 ) → 𝑃 = ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”⟩ )
24	23	cnveqd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ( Trails ‘ 𝐺 ) 𝑃 ) → ^◡ 𝑃 = ^◡ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”⟩ )
25	24	funeqd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ( Trails ‘ 𝐺 ) 𝑃 ) → ( Fun ^◡ 𝑃 ↔ Fun ^◡ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”⟩ ) )
26	22 25	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ( Trails ‘ 𝐺 ) 𝑃 ) → Fun ^◡ 𝑃 )
27		isspth	⊢ ( 𝐹 ( SPaths ‘ 𝐺 ) 𝑃 ↔ ( 𝐹 ( Trails ‘ 𝐺 ) 𝑃 ∧ Fun ^◡ 𝑃 ) )
28	11 26 27	sylanbrc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ( Trails ‘ 𝐺 ) 𝑃 ) → 𝐹 ( SPaths ‘ 𝐺 ) 𝑃 )
29	10 28	mpdan	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ( SPaths ‘ 𝐺 ) 𝑃 )

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Theorem 3spthd

Proof