This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem 3dimlem4OLDN

Description: Lemma for 3dim1 . (Contributed by NM, 25-Jul-2012) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses 3dim0.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3dim0.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3dim0.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion 3dimlem4OLDN ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 3dim0.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
2 3dim0.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 3dim0.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 simp2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
5 simp2r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) → ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
6 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
7 simp2l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
8 simp12 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
9 simp13 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
10 simp3l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑄 ≠ 𝑅 )
11 10 necomd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑅 ≠ 𝑄 )
12 2 1 3 hlatexch2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) → ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ) )
13 6 7 8 9 11 12 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ) )
14 1 3 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) )
15 6 9 7 14 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) )
16 15 breq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ 𝑃 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ) )
17 13 16 sylibrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
18 17 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
19 5 18 mtod ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) → ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
20 simp3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) → ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) )
21 hllat ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat )
22 6 21 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
23 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
24 23 3 atbase ⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 9 24 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26 23 3 atbase ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27 7 26 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 23 3 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29 8 28 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 23 1 latjrot ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )
31 22 25 27 29 30 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )
32 31 breq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ↔ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) )
33 simp2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
34 23 1 3 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
35 6 9 7 34 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
36 simp3r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
37 23 2 1 3 hlexch1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) → 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) )
38 6 33 8 35 36 37 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) → 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) )
39 32 38 sylbird ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) → 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) )
40 39 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) → 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) )
41 20 40 mtod ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) → ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )
42 4 19 41 3jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) )