This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem 2atlt

Description: Given an atom less than an element, there is another atom less than the element. (Contributed by NM, 6-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses 2atomslt.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2atomslt.s ⊢ < = ( lt ‘ 𝐾 )
2atomslt.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion 2atlt ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 2atomslt.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 2atomslt.s ⊢ < = ( lt ‘ 𝐾 )
3 2atomslt.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 1 3 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵 )
5 eqid ⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
6 eqid ⊢ ( join ‘ 𝐾 ) = ( join ‘ 𝐾 )
7 1 5 2 6 3 hlrelat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) )
8 4 7 syl3anl2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) )
9 simp3l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) )
10 simp1l1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
11 simp1l2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
12 simp2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑞 ∈ 𝐴 )
13 eqid ⊢ ( ⋖ ‘ 𝐾 ) = ( ⋖ ‘ 𝐾 )
14 2 6 3 13 atltcvr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ↔ 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) )
15 10 11 11 12 14 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ↔ 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) )
16 9 15 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) )
17 6 13 3 atcvr1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) )
18 10 11 12 17 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) )
19 16 18 mpbird ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑞 )
20 19 necomd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑞 ≠ 𝑃 )
21 2 6 3 atlt ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑞 < ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑃 ) ↔ 𝑞 ≠ 𝑃 ) )
22 10 12 11 21 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( 𝑞 < ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑃 ) ↔ 𝑞 ≠ 𝑃 ) )
23 20 22 mpbird ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑞 < ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑃 ) )
24 10 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
25 11 4 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 )
26 1 3 atbase ⊢ ( 𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵 )
27 26 3ad2ant2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑞 ∈ 𝐵 )
28 1 6 latjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑃 ) )
29 24 25 27 28 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑃 ) )
30 23 29 breqtrrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑞 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) )
31 simp3r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
32 hlpos ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset )
33 10 32 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝐾 ∈ Poset )
34 1 6 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∈ 𝐵 )
35 24 25 27 34 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∈ 𝐵 )
36 simp1l3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
37 1 5 2 pltletr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Poset ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑞 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → 𝑞 < 𝑋 ) )
38 33 27 35 36 37 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑞 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → 𝑞 < 𝑋 ) )
39 30 31 38 mp2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → 𝑞 < 𝑋 )
40 20 39 jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) → ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋 ) )
41 40 3exp ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) → ( 𝑞 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋 ) ) ) )
42 41 reximdvai ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) → ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑃 < ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋 ) ) )
43 8 42 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 < 𝑋 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑃 ∧ 𝑞 < 𝑋 ) )