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Theorem uniun

Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of Quine p. 53. (Contributed by NM, 20-Aug-1993)

Ref Expression
Assertion uniun 
|- U. ( A u. B ) = ( U. A u. U. B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 19.43 
 |-  ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) \/ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
2 elun 
 |-  ( y e. ( A u. B ) <-> ( y e. A \/ y e. B ) )
3 2 anbi2i 
 |-  ( ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A \/ y e. B ) ) )
4 andi 
 |-  ( ( x e. y /\ ( y e. A \/ y e. B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
5 3 4 bitri 
 |-  ( ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
6 5 exbii 
 |-  ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
7 eluni 
 |-  ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
8 eluni 
 |-  ( x e. U. B <-> E. y ( x e. y /\ y e. B ) )
9 7 8 orbi12i 
 |-  ( ( x e. U. A \/ x e. U. B ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) \/ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
10 1 6 9 3bitr4i 
 |-  ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> ( x e. U. A \/ x e. U. B ) )
11 eluni 
 |-  ( x e. U. ( A u. B ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) )
12 elun 
 |-  ( x e. ( U. A u. U. B ) <-> ( x e. U. A \/ x e. U. B ) )
13 10 11 12 3bitr4i 
 |-  ( x e. U. ( A u. B ) <-> x e. ( U. A u. U. B ) )
14 13 eqriv 
 |-  U. ( A u. B ) = ( U. A u. U. B )