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Theorem uniin

Description: The class union of the intersection of two classes. Exercise 4.12(n) of Mendelson p. 235. See uniinqs for a condition where equality holds. (Contributed by NM, 4-Dec-2003) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011)

Ref Expression
Assertion uniin 
|- U. ( A i^i B ) C_ ( U. A i^i U. B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 19.40 
 |-  ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) -> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
2 elin 
 |-  ( y e. ( A i^i B ) <-> ( y e. A /\ y e. B ) )
3 2 anbi2i 
 |-  ( ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) )
4 anandi 
 |-  ( ( x e. y /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
5 3 4 bitri 
 |-  ( ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
6 5 exbii 
 |-  ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
7 eluni 
 |-  ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
8 eluni 
 |-  ( x e. U. B <-> E. y ( x e. y /\ y e. B ) )
9 7 8 anbi12i 
 |-  ( ( x e. U. A /\ x e. U. B ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
10 1 6 9 3imtr4i 
 |-  ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) -> ( x e. U. A /\ x e. U. B ) )
11 eluni 
 |-  ( x e. U. ( A i^i B ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) )
12 elin 
 |-  ( x e. ( U. A i^i U. B ) <-> ( x e. U. A /\ x e. U. B ) )
13 10 11 12 3imtr4i 
 |-  ( x e. U. ( A i^i B ) -> x e. ( U. A i^i U. B ) )
14 13 ssriv 
 |-  U. ( A i^i B ) C_ ( U. A i^i U. B )