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Theorem submacs

Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015)

Ref Expression
Hypothesis submacs.b 
|- B = ( Base ` G )
Assertion submacs 
|- ( G e. Mnd -> ( SubMnd ` G ) e. ( ACS ` B ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 submacs.b 
 |-  B = ( Base ` G )
2 eqid 
 |-  ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
3 eqid 
 |-  ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4 1 2 3 issubm 
 |-  ( G e. Mnd -> ( s e. ( SubMnd ` G ) <-> ( s C_ B /\ ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) )
5 velpw 
 |-  ( s e. ~P B <-> s C_ B )
6 5 anbi1i 
 |-  ( ( s e. ~P B /\ ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) <-> ( s C_ B /\ ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) )
7 3anass 
 |-  ( ( s C_ B /\ ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) <-> ( s C_ B /\ ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) )
8 6 7 bitr4i 
 |-  ( ( s e. ~P B /\ ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) <-> ( s C_ B /\ ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) )
9 4 8 bitr4di 
 |-  ( G e. Mnd -> ( s e. ( SubMnd ` G ) <-> ( s e. ~P B /\ ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) ) )
10 9 eqabdv 
 |-  ( G e. Mnd -> ( SubMnd ` G ) = { s | ( s e. ~P B /\ ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) } )
11 df-rab 
 |-  { s e. ~P B | ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) } = { s | ( s e. ~P B /\ ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) }
12 10 11 eqtr4di 
 |-  ( G e. Mnd -> ( SubMnd ` G ) = { s e. ~P B | ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) } )
13 inrab 
 |-  ( { s e. ~P B | ( 0g ` G ) e. s } i^i { s e. ~P B | A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s } ) = { s e. ~P B | ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) }
14 1 fvexi 
 |-  B e. _V
15 mreacs 
 |-  ( B e. _V -> ( ACS ` B ) e. ( Moore ` ~P B ) )
16 14 15 mp1i 
 |-  ( G e. Mnd -> ( ACS ` B ) e. ( Moore ` ~P B ) )
17 1 2 mndidcl 
 |-  ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
18 acsfn0 
 |-  ( ( B e. _V /\ ( 0g ` G ) e. B ) -> { s e. ~P B | ( 0g ` G ) e. s } e. ( ACS ` B ) )
19 14 17 18 sylancr 
 |-  ( G e. Mnd -> { s e. ~P B | ( 0g ` G ) e. s } e. ( ACS ` B ) )
20 1 3 mndcl 
 |-  ( ( G e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
21 20 3expb 
 |-  ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
22 21 ralrimivva 
 |-  ( G e. Mnd -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
23 acsfn2 
 |-  ( ( B e. _V /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) y ) e. B ) -> { s e. ~P B | A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s } e. ( ACS ` B ) )
24 14 22 23 sylancr 
 |-  ( G e. Mnd -> { s e. ~P B | A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s } e. ( ACS ` B ) )
25 mreincl 
 |-  ( ( ( ACS ` B ) e. ( Moore ` ~P B ) /\ { s e. ~P B | ( 0g ` G ) e. s } e. ( ACS ` B ) /\ { s e. ~P B | A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s } e. ( ACS ` B ) ) -> ( { s e. ~P B | ( 0g ` G ) e. s } i^i { s e. ~P B | A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s } ) e. ( ACS ` B ) )
26 16 19 24 25 syl3anc 
 |-  ( G e. Mnd -> ( { s e. ~P B | ( 0g ` G ) e. s } i^i { s e. ~P B | A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s } ) e. ( ACS ` B ) )
27 13 26 eqeltrrid 
 |-  ( G e. Mnd -> { s e. ~P B | ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) } e. ( ACS ` B ) )
28 12 27 eqeltrd 
 |-  ( G e. Mnd -> ( SubMnd ` G ) e. ( ACS ` B ) )