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Metamath Proof Explorer

Theorem reu7

Description: Restricted uniqueness using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006)

Ref Expression
Hypothesis rmo4.1 
|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
Assertion reu7 
|- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. x e. A A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rmo4.1 
 |-  ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2 reu3 
 |-  ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. z e. A A. x e. A ( ph -> x = z ) ) )
3 equequ1 
 |-  ( x = y -> ( x = z <-> y = z ) )
4 equcom 
 |-  ( y = z <-> z = y )
5 3 4 bitrdi 
 |-  ( x = y -> ( x = z <-> z = y ) )
6 1 5 imbi12d 
 |-  ( x = y -> ( ( ph -> x = z ) <-> ( ps -> z = y ) ) )
7 6 cbvralvw 
 |-  ( A. x e. A ( ph -> x = z ) <-> A. y e. A ( ps -> z = y ) )
8 7 rexbii 
 |-  ( E. z e. A A. x e. A ( ph -> x = z ) <-> E. z e. A A. y e. A ( ps -> z = y ) )
9 equequ1 
 |-  ( z = x -> ( z = y <-> x = y ) )
10 9 imbi2d 
 |-  ( z = x -> ( ( ps -> z = y ) <-> ( ps -> x = y ) ) )
11 10 ralbidv 
 |-  ( z = x -> ( A. y e. A ( ps -> z = y ) <-> A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )
12 11 cbvrexvw 
 |-  ( E. z e. A A. y e. A ( ps -> z = y ) <-> E. x e. A A. y e. A ( ps -> x = y ) )
13 8 12 bitri 
 |-  ( E. z e. A A. x e. A ( ph -> x = z ) <-> E. x e. A A. y e. A ( ps -> x = y ) )
14 13 anbi2i 
 |-  ( ( E. x e. A ph /\ E. z e. A A. x e. A ( ph -> x = z ) ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. x e. A A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )
15 2 14 bitri 
 |-  ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. x e. A A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )