This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem reu8

Description: Restricted uniqueness using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006)

Ref Expression
Hypothesis rmo4.1 
|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
Assertion reu8 
|- ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rmo4.1 
 |-  ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2 1 cbvreuvw 
 |-  ( E! x e. A ph <-> E! y e. A ps )
3 reu6 
 |-  ( E! y e. A ps <-> E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) )
4 dfbi2 
 |-  ( ( ps <-> y = x ) <-> ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )
5 4 ralbii 
 |-  ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )
6 r19.26 
 |-  ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )
7 ancom 
 |-  ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) )
8 equcom 
 |-  ( x = y <-> y = x )
9 8 imbi2i 
 |-  ( ( ps -> x = y ) <-> ( ps -> y = x ) )
10 9 ralbii 
 |-  ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) )
11 10 a1i 
 |-  ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) ) )
12 biimt 
 |-  ( x e. A -> ( ph <-> ( x e. A -> ph ) ) )
13 df-ral 
 |-  ( A. y e. A ( y = x -> ps ) <-> A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) )
14 bi2.04 
 |-  ( ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )
15 14 albii 
 |-  ( A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )
16 eleq1w 
 |-  ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
17 16 1 imbi12d 
 |-  ( x = y -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( y e. A -> ps ) ) )
18 17 bicomd 
 |-  ( x = y -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )
19 18 equcoms 
 |-  ( y = x -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )
20 19 equsalvw 
 |-  ( A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) <-> ( x e. A -> ph ) )
21 13 15 20 3bitrri 
 |-  ( ( x e. A -> ph ) <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) )
22 12 21 bitrdi 
 |-  ( x e. A -> ( ph <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )
23 11 22 anbi12d 
 |-  ( x e. A -> ( ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )
24 7 23 bitrid 
 |-  ( x e. A -> ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )
25 6 24 bitr4id 
 |-  ( x e. A -> ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )
26 5 25 bitrid 
 |-  ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )
27 26 rexbiia 
 |-  ( E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )
28 2 3 27 3bitri 
 |-  ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )