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Metamath Proof Explorer

Theorem raaan

Description: Rearrange restricted quantifiers. (Contributed by NM, 26-Oct-2010)

Ref Expression
Hypotheses raaan.1 
|- F/ y ph
raaan.2 
|- F/ x ps
Assertion raaan 
|- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 raaan.1 
 |-  F/ y ph
2 raaan.2 
 |-  F/ x ps
3 rzal 
 |-  ( A = (/) -> A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) )
4 rzal 
 |-  ( A = (/) -> A. x e. A ph )
5 rzal 
 |-  ( A = (/) -> A. y e. A ps )
6 pm5.1 
 |-  ( ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) /\ ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
7 3 4 5 6 syl12anc 
 |-  ( A = (/) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
8 1 r19.28z 
 |-  ( A =/= (/) -> ( A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ A. y e. A ps ) ) )
9 8 ralbidv 
 |-  ( A =/= (/) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) ) )
10 nfcv 
 |-  F/_ x A
11 10 2 nfralw 
 |-  F/ x A. y e. A ps
12 11 r19.27z 
 |-  ( A =/= (/) -> ( A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
13 9 12 bitrd 
 |-  ( A =/= (/) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
14 7 13 pm2.61ine 
 |-  ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) )