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Metamath Proof Explorer

Theorem raaanv

Description: Rearrange restricted quantifiers. (Contributed by NM, 11-Mar-1997)

Ref Expression
Assertion raaanv 
|- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rzal 
 |-  ( A = (/) -> A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) )
2 rzal 
 |-  ( A = (/) -> A. x e. A ph )
3 rzal 
 |-  ( A = (/) -> A. y e. A ps )
4 pm5.1 
 |-  ( ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) /\ ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
5 1 2 3 4 syl12anc 
 |-  ( A = (/) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
6 r19.28zv 
 |-  ( A =/= (/) -> ( A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ A. y e. A ps ) ) )
7 6 ralbidv 
 |-  ( A =/= (/) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) ) )
8 r19.27zv 
 |-  ( A =/= (/) -> ( A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
9 7 8 bitrd 
 |-  ( A =/= (/) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) ) )
10 5 9 pm2.61ine 
 |-  ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. y e. A ps ) )