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Theorem opelopabt

Description: Closed theorem form of opelopab . (Contributed by NM, 19-Feb-2013)

Ref Expression
Assertion opelopabt 
|- ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ch ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elopab 
 |-  ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) )
2 19.26-2 
 |-  ( A. x A. y ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) <-> ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) )
3 anim12 
 |-  ( ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ( ph <-> ps ) /\ ( ps <-> ch ) ) ) )
4 bitr 
 |-  ( ( ( ph <-> ps ) /\ ( ps <-> ch ) ) -> ( ph <-> ch ) )
5 3 4 syl6 
 |-  ( ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) )
6 5 2alimi 
 |-  ( A. x A. y ( ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> A. x A. y ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) )
7 2 6 sylbir 
 |-  ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) ) -> A. x A. y ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) )
8 copsex2t 
 |-  ( ( A. x A. y ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ch ) )
9 7 8 stoic3 
 |-  ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( E. x E. y ( <. A , B >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ch ) )
10 1 9 bitrid 
 |-  ( ( A. x A. y ( x = A -> ( ph <-> ps ) ) /\ A. x A. y ( y = B -> ( ps <-> ch ) ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) ) -> ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ch ) )