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Theorem omlsii

Description: Subspace inference form of orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses omlsi.1 
|- A e. CH
omlsi.2 
|- B e. SH
omlsi.3 
|- A C_ B
omlsi.4 
|- ( B i^i ( _|_ ` A ) ) = 0H
Assertion omlsii 
|- A = B

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 omlsi.1 
 |-  A e. CH
2 omlsi.2 
 |-  B e. SH
3 omlsi.3 
 |-  A C_ B
4 omlsi.4 
 |-  ( B i^i ( _|_ ` A ) ) = 0H
5 2 sheli 
 |-  ( x e. B -> x e. ~H )
6 1 5 pjhthlem2 
 |-  ( x e. B -> E. y e. A E. z e. ( _|_ ` A ) x = ( y +h z ) )
7 eqeq1 
 |-  ( x = if ( x e. B , x , 0h ) -> ( x = ( y +h z ) <-> if ( x e. B , x , 0h ) = ( y +h z ) ) )
8 eleq1 
 |-  ( x = if ( x e. B , x , 0h ) -> ( x e. A <-> if ( x e. B , x , 0h ) e. A ) )
9 7 8 imbi12d 
 |-  ( x = if ( x e. B , x , 0h ) -> ( ( x = ( y +h z ) -> x e. A ) <-> ( if ( x e. B , x , 0h ) = ( y +h z ) -> if ( x e. B , x , 0h ) e. A ) ) )
10 oveq1 
 |-  ( y = if ( y e. A , y , 0h ) -> ( y +h z ) = ( if ( y e. A , y , 0h ) +h z ) )
11 10 eqeq2d 
 |-  ( y = if ( y e. A , y , 0h ) -> ( if ( x e. B , x , 0h ) = ( y +h z ) <-> if ( x e. B , x , 0h ) = ( if ( y e. A , y , 0h ) +h z ) ) )
12 11 imbi1d 
 |-  ( y = if ( y e. A , y , 0h ) -> ( ( if ( x e. B , x , 0h ) = ( y +h z ) -> if ( x e. B , x , 0h ) e. A ) <-> ( if ( x e. B , x , 0h ) = ( if ( y e. A , y , 0h ) +h z ) -> if ( x e. B , x , 0h ) e. A ) ) )
13 oveq2 
 |-  ( z = if ( z e. ( _|_ ` A ) , z , 0h ) -> ( if ( y e. A , y , 0h ) +h z ) = ( if ( y e. A , y , 0h ) +h if ( z e. ( _|_ ` A ) , z , 0h ) ) )
14 13 eqeq2d 
 |-  ( z = if ( z e. ( _|_ ` A ) , z , 0h ) -> ( if ( x e. B , x , 0h ) = ( if ( y e. A , y , 0h ) +h z ) <-> if ( x e. B , x , 0h ) = ( if ( y e. A , y , 0h ) +h if ( z e. ( _|_ ` A ) , z , 0h ) ) ) )
15 14 imbi1d 
 |-  ( z = if ( z e. ( _|_ ` A ) , z , 0h ) -> ( ( if ( x e. B , x , 0h ) = ( if ( y e. A , y , 0h ) +h z ) -> if ( x e. B , x , 0h ) e. A ) <-> ( if ( x e. B , x , 0h ) = ( if ( y e. A , y , 0h ) +h if ( z e. ( _|_ ` A ) , z , 0h ) ) -> if ( x e. B , x , 0h ) e. A ) ) )
16 1 chshii 
 |-  A e. SH
17 sh0 
 |-  ( B e. SH -> 0h e. B )
18 2 17 ax-mp 
 |-  0h e. B
19 18 elimel 
 |-  if ( x e. B , x , 0h ) e. B
20 ch0 
 |-  ( A e. CH -> 0h e. A )
21 1 20 ax-mp 
 |-  0h e. A
22 21 elimel 
 |-  if ( y e. A , y , 0h ) e. A
23 shocsh 
 |-  ( A e. SH -> ( _|_ ` A ) e. SH )
24 16 23 ax-mp 
 |-  ( _|_ ` A ) e. SH
25 sh0 
 |-  ( ( _|_ ` A ) e. SH -> 0h e. ( _|_ ` A ) )
26 24 25 ax-mp 
 |-  0h e. ( _|_ ` A )
27 26 elimel 
 |-  if ( z e. ( _|_ ` A ) , z , 0h ) e. ( _|_ ` A )
28 16 2 3 4 19 22 27 omlsilem 
 |-  ( if ( x e. B , x , 0h ) = ( if ( y e. A , y , 0h ) +h if ( z e. ( _|_ ` A ) , z , 0h ) ) -> if ( x e. B , x , 0h ) e. A )
29 9 12 15 28 dedth3h 
 |-  ( ( x e. B /\ y e. A /\ z e. ( _|_ ` A ) ) -> ( x = ( y +h z ) -> x e. A ) )
30 29 3expia 
 |-  ( ( x e. B /\ y e. A ) -> ( z e. ( _|_ ` A ) -> ( x = ( y +h z ) -> x e. A ) ) )
31 30 rexlimdv 
 |-  ( ( x e. B /\ y e. A ) -> ( E. z e. ( _|_ ` A ) x = ( y +h z ) -> x e. A ) )
32 31 rexlimdva 
 |-  ( x e. B -> ( E. y e. A E. z e. ( _|_ ` A ) x = ( y +h z ) -> x e. A ) )
33 6 32 mpd 
 |-  ( x e. B -> x e. A )
34 33 ssriv 
 |-  B C_ A
35 3 34 eqssi 
 |-  A = B