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Theorem oicl

Description: The order type of the well-order R on A is an ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015)

Ref Expression
Hypothesis oicl.1 
|- F = OrdIso ( R , A )
Assertion oicl 
|- Ord dom F

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 oicl.1 
 |-  F = OrdIso ( R , A )
2 eqid 
 |-  recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) )
3 eqid 
 |-  { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
4 eqid 
 |-  ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) )
5 2 3 4 ordtypecbv 
 |-  recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) )
6 eqid 
 |-  { x e. On | E. t e. A A. z e. ( recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) " x ) z R t } = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) " x ) z R t }
7 simpl 
 |-  ( ( R We A /\ R Se A ) -> R We A )
8 simpr 
 |-  ( ( R We A /\ R Se A ) -> R Se A )
9 5 3 4 6 1 7 8 ordtypelem5 
 |-  ( ( R We A /\ R Se A ) -> ( Ord dom F /\ F : dom F --> A ) )
10 9 simpld 
 |-  ( ( R We A /\ R Se A ) -> Ord dom F )
11 ord0 
 |-  Ord (/)
12 1 oi0 
 |-  ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> F = (/) )
13 12 dmeqd 
 |-  ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> dom F = dom (/) )
14 dm0 
 |-  dom (/) = (/)
15 13 14 eqtrdi 
 |-  ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> dom F = (/) )
16 ordeq 
 |-  ( dom F = (/) -> ( Ord dom F <-> Ord (/) ) )
17 15 16 syl 
 |-  ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> ( Ord dom F <-> Ord (/) ) )
18 11 17 mpbiri 
 |-  ( -. ( R We A /\ R Se A ) -> Ord dom F )
19 10 18 pm2.61i 
 |-  Ord dom F