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Theorem oeordsuc

Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of TakeutiZaring p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005)

Ref Expression
Assertion oeordsuc 
|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 onelon 
 |-  ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
2 1 ex 
 |-  ( B e. On -> ( A e. B -> A e. On ) )
3 2 adantr 
 |-  ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> A e. On ) )
4 oewordri 
 |-  ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )
5 4 3adant1 
 |-  ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) ) )
6 oecl 
 |-  ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o C ) e. On )
7 6 3adant2 
 |-  ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o C ) e. On )
8 oecl 
 |-  ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o C ) e. On )
9 8 3adant1 
 |-  ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o C ) e. On )
10 simp1 
 |-  ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> A e. On )
11 omwordri 
 |-  ( ( ( A ^o C ) e. On /\ ( B ^o C ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
12 7 9 10 11 syl3anc 
 |-  ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o C ) C_ ( B ^o C ) -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
13 5 12 syld 
 |-  ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
14 oesuc 
 |-  ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o suc C ) = ( ( A ^o C ) .o A ) )
15 14 3adant2 
 |-  ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A ^o suc C ) = ( ( A ^o C ) .o A ) )
16 15 sseq1d 
 |-  ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) <-> ( ( A ^o C ) .o A ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
17 13 16 sylibrd 
 |-  ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) ) )
18 ne0i 
 |-  ( A e. B -> B =/= (/) )
19 on0eln0 
 |-  ( B e. On -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
20 18 19 imbitrrid 
 |-  ( B e. On -> ( A e. B -> (/) e. B ) )
21 20 adantr 
 |-  ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> (/) e. B ) )
22 oen0 
 |-  ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. B ) -> (/) e. ( B ^o C ) )
23 22 ex 
 |-  ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. B -> (/) e. ( B ^o C ) ) )
24 21 23 syld 
 |-  ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> (/) e. ( B ^o C ) ) )
25 omordi 
 |-  ( ( ( B e. On /\ ( B ^o C ) e. On ) /\ (/) e. ( B ^o C ) ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
26 8 25 syldanl 
 |-  ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. ( B ^o C ) ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
27 26 ex 
 |-  ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. ( B ^o C ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) ) )
28 27 com23 
 |-  ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( (/) e. ( B ^o C ) -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) ) )
29 24 28 mpdd 
 |-  ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
30 29 3adant1 
 |-  ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
31 oesuc 
 |-  ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o suc C ) = ( ( B ^o C ) .o B ) )
32 31 3adant1 
 |-  ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( B ^o suc C ) = ( ( B ^o C ) .o B ) )
33 32 eleq2d 
 |-  ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) <-> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( ( B ^o C ) .o B ) ) )
34 30 33 sylibrd 
 |-  ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) )
35 17 34 jcad 
 |-  ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
36 35 3expa 
 |-  ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
37 onsucb 
 |-  ( C e. On <-> suc C e. On )
38 oecl 
 |-  ( ( A e. On /\ suc C e. On ) -> ( A ^o suc C ) e. On )
39 oecl 
 |-  ( ( B e. On /\ suc C e. On ) -> ( B ^o suc C ) e. On )
40 ontr2 
 |-  ( ( ( A ^o suc C ) e. On /\ ( B ^o suc C ) e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
41 38 39 40 syl2an 
 |-  ( ( ( A e. On /\ suc C e. On ) /\ ( B e. On /\ suc C e. On ) ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
42 41 anandirs 
 |-  ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ suc C e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
43 37 42 sylan2b 
 |-  ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( ( ( A ^o suc C ) C_ ( ( B ^o C ) .o A ) /\ ( ( B ^o C ) .o A ) e. ( B ^o suc C ) ) -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
44 36 43 syld 
 |-  ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )
45 44 exp31 
 |-  ( A e. On -> ( B e. On -> ( C e. On -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) ) )
46 45 com4l 
 |-  ( B e. On -> ( C e. On -> ( A e. B -> ( A e. On -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) ) )
47 46 imp 
 |-  ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A e. On -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) ) )
48 3 47 mpdd 
 |-  ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A ^o suc C ) e. ( B ^o suc C ) ) )