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Theorem neifil

Description: The neighborhoods of a nonempty set is a filter. Example 2 of BourbakiTop1 p. I.36. (Contributed by FL, 18-Sep-2007) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion neifil 
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` S ) e. ( Fil ` X ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 toponuni 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> X = U. J )
2 1 adantr 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> X = U. J )
3 topontop 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> J e. Top )
4 3 adantr 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> J e. Top )
5 simpr 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> S C_ X )
6 5 2 sseqtrd 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> S C_ U. J )
7 eqid 
 |-  U. J = U. J
8 7 neiuni 
 |-  ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> U. J = U. ( ( nei ` J ) ` S ) )
9 4 6 8 syl2anc 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> U. J = U. ( ( nei ` J ) ` S ) )
10 2 9 eqtrd 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> X = U. ( ( nei ` J ) ` S ) )
11 eqimss2 
 |-  ( X = U. ( ( nei ` J ) ` S ) -> U. ( ( nei ` J ) ` S ) C_ X )
12 10 11 syl 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> U. ( ( nei ` J ) ` S ) C_ X )
13 sspwuni 
 |-  ( ( ( nei ` J ) ` S ) C_ ~P X <-> U. ( ( nei ` J ) ` S ) C_ X )
14 12 13 sylibr 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> ( ( nei ` J ) ` S ) C_ ~P X )
15 14 3adant3 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` S ) C_ ~P X )
16 0nnei 
 |-  ( ( J e. Top /\ S =/= (/) ) -> -. (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
17 3 16 sylan 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S =/= (/) ) -> -. (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
18 17 3adant2 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> -. (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
19 7 tpnei 
 |-  ( J e. Top -> ( S C_ U. J <-> U. J e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
20 19 biimpa 
 |-  ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> U. J e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
21 4 6 20 syl2anc 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> U. J e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
22 2 21 eqeltrd 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> X e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
23 22 3adant3 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> X e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
24 15 18 23 3jca 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` S ) C_ ~P X /\ -. (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ X e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
25 elpwi 
 |-  ( x e. ~P X -> x C_ X )
26 4 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) /\ x C_ X ) /\ ( y e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ y C_ x ) ) -> J e. Top )
27 simprl 
 |-  ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) /\ x C_ X ) /\ ( y e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ y C_ x ) ) -> y e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
28 simprr 
 |-  ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) /\ x C_ X ) /\ ( y e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ y C_ x ) ) -> y C_ x )
29 simplr 
 |-  ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) /\ x C_ X ) /\ ( y e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ y C_ x ) ) -> x C_ X )
30 2 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) /\ x C_ X ) /\ ( y e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ y C_ x ) ) -> X = U. J )
31 29 30 sseqtrd 
 |-  ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) /\ x C_ X ) /\ ( y e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ y C_ x ) ) -> x C_ U. J )
32 7 ssnei2 
 |-  ( ( ( J e. Top /\ y e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( y C_ x /\ x C_ U. J ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
33 26 27 28 31 32 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) /\ x C_ X ) /\ ( y e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ y C_ x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
34 33 rexlimdvaa 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) /\ x C_ X ) -> ( E. y e. ( ( nei ` J ) ` S ) y C_ x -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
35 25 34 sylan2 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) /\ x e. ~P X ) -> ( E. y e. ( ( nei ` J ) ` S ) y C_ x -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
36 35 ralrimiva 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> A. x e. ~P X ( E. y e. ( ( nei ` J ) ` S ) y C_ x -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
37 36 3adant3 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> A. x e. ~P X ( E. y e. ( ( nei ` J ) ` S ) y C_ x -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
38 innei 
 |-  ( ( J e. Top /\ x e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> ( x i^i y ) e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
39 38 3expib 
 |-  ( J e. Top -> ( ( x e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> ( x i^i y ) e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
40 3 39 syl 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> ( ( x e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> ( x i^i y ) e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
41 40 3ad2ant1 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( ( x e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> ( x i^i y ) e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
42 41 ralrimivv 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> A. x e. ( ( nei ` J ) ` S ) A. y e. ( ( nei ` J ) ` S ) ( x i^i y ) e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
43 isfil2 
 |-  ( ( ( nei ` J ) ` S ) e. ( Fil ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` S ) C_ ~P X /\ -. (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) /\ X e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ A. x e. ~P X ( E. y e. ( ( nei ` J ) ` S ) y C_ x -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ A. x e. ( ( nei ` J ) ` S ) A. y e. ( ( nei ` J ) ` S ) ( x i^i y ) e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
44 24 37 42 43 syl3anbrc 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ S =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` S ) e. ( Fil ` X ) )