This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem nbgrel

Description: Characterization of a neighbor N of a vertex X in a graph G . (Contributed by Alexander van der Vekens and Mario Carneiro, 9-Oct-2017) (Revised by AV, 26-Oct-2020) (Revised by AV, 12-Feb-2022)

Ref Expression
Hypotheses nbgrel.v 
|- V = ( Vtx ` G )
nbgrel.e 
|- E = ( Edg ` G )
Assertion nbgrel 
|- ( N e. ( G NeighbVtx X ) <-> ( ( N e. V /\ X e. V ) /\ N =/= X /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 nbgrel.v 
 |-  V = ( Vtx ` G )
2 nbgrel.e 
 |-  E = ( Edg ` G )
3 1 nbgrcl 
 |-  ( N e. ( G NeighbVtx X ) -> X e. V )
4 3 pm4.71ri 
 |-  ( N e. ( G NeighbVtx X ) <-> ( X e. V /\ N e. ( G NeighbVtx X ) ) )
5 1 2 nbgrval 
 |-  ( X e. V -> ( G NeighbVtx X ) = { n e. ( V \ { X } ) | E. e e. E { X , n } C_ e } )
6 5 eleq2d 
 |-  ( X e. V -> ( N e. ( G NeighbVtx X ) <-> N e. { n e. ( V \ { X } ) | E. e e. E { X , n } C_ e } ) )
7 preq2 
 |-  ( n = N -> { X , n } = { X , N } )
8 7 sseq1d 
 |-  ( n = N -> ( { X , n } C_ e <-> { X , N } C_ e ) )
9 8 rexbidv 
 |-  ( n = N -> ( E. e e. E { X , n } C_ e <-> E. e e. E { X , N } C_ e ) )
10 9 elrab 
 |-  ( N e. { n e. ( V \ { X } ) | E. e e. E { X , n } C_ e } <-> ( N e. ( V \ { X } ) /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) )
11 eldifsn 
 |-  ( N e. ( V \ { X } ) <-> ( N e. V /\ N =/= X ) )
12 11 anbi1i 
 |-  ( ( N e. ( V \ { X } ) /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) <-> ( ( N e. V /\ N =/= X ) /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) )
13 10 12 bitri 
 |-  ( N e. { n e. ( V \ { X } ) | E. e e. E { X , n } C_ e } <-> ( ( N e. V /\ N =/= X ) /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) )
14 6 13 bitrdi 
 |-  ( X e. V -> ( N e. ( G NeighbVtx X ) <-> ( ( N e. V /\ N =/= X ) /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) ) )
15 14 pm5.32i 
 |-  ( ( X e. V /\ N e. ( G NeighbVtx X ) ) <-> ( X e. V /\ ( ( N e. V /\ N =/= X ) /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) ) )
16 df-3an 
 |-  ( ( ( N e. V /\ X e. V ) /\ N =/= X /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) <-> ( ( ( N e. V /\ X e. V ) /\ N =/= X ) /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) )
17 anass 
 |-  ( ( ( X e. V /\ N e. V ) /\ N =/= X ) <-> ( X e. V /\ ( N e. V /\ N =/= X ) ) )
18 ancom 
 |-  ( ( X e. V /\ N e. V ) <-> ( N e. V /\ X e. V ) )
19 18 anbi1i 
 |-  ( ( ( X e. V /\ N e. V ) /\ N =/= X ) <-> ( ( N e. V /\ X e. V ) /\ N =/= X ) )
20 17 19 bitr3i 
 |-  ( ( X e. V /\ ( N e. V /\ N =/= X ) ) <-> ( ( N e. V /\ X e. V ) /\ N =/= X ) )
21 20 anbi1i 
 |-  ( ( ( X e. V /\ ( N e. V /\ N =/= X ) ) /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) <-> ( ( ( N e. V /\ X e. V ) /\ N =/= X ) /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) )
22 anass 
 |-  ( ( ( X e. V /\ ( N e. V /\ N =/= X ) ) /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) <-> ( X e. V /\ ( ( N e. V /\ N =/= X ) /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) ) )
23 16 21 22 3bitr2ri 
 |-  ( ( X e. V /\ ( ( N e. V /\ N =/= X ) /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) ) <-> ( ( N e. V /\ X e. V ) /\ N =/= X /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) )
24 15 23 bitri 
 |-  ( ( X e. V /\ N e. ( G NeighbVtx X ) ) <-> ( ( N e. V /\ X e. V ) /\ N =/= X /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) )
25 4 24 bitri 
 |-  ( N e. ( G NeighbVtx X ) <-> ( ( N e. V /\ X e. V ) /\ N =/= X /\ E. e e. E { X , N } C_ e ) )